Vinst fördelning
Sex personer är med i utlottningen av två lika stora vinster. Varje person kan bara få en vinst. Det är herr och fru Alm, herr och fru Olsson samt herr och fru Raciz.
På hur många sätt kan de två vinsterna fördelas om åtminstone en av personerna i familjen Alm vinner?
(2x2) + (2x2) + (2x2) + (2x2)
= 16
Jag tänkte först kan någon av fru eller herr Alm vinna, och sedan en annan (fru eller herr familj) därmed gånger 2.
Dock är svaret 9, varför?
Antag att herr Alm är en av vinnarna. Då skall vi bara välja ut den andra vinnaren, vilket vi kan göra på 5 vis(versal bokstav betyder här "herr" och gemen "fru"):
Aa, AO, Ao, AR, Ar
Antag att fru Alm är en av vinnarna. Då skall vi bara välja ut den andra vinnaren, vilket vi kan göra på 5 vis:
aA, aO, ao, aR, ar
Detta är totalt 10 fördelningar. Detta är en mer än i facit, och detta beror på att det fall då endast familjen Alm är vinnare räknats dubbelt, Aa och aA. Så om vi tar bort en av dem får vi 9 stycken, det rätta svaret.
Aa, AO, Ao, AR, Ar, aO, ao, aR, ar
Tack. Det blev tydligare. Hur räknar man ut detta utan att skriva upp det som #2? (Siffermässigt, om man kan säga så)
Hur räknar man ut detta utan att skriva upp det som #2? (Siffermässigt, om man kan säga så)
Varför skulle man vilja krångla till det när man har hittat en bra metod?
Självklart är #2 bra.
Jag vill bara lära mig hur man gör det med tal också (multiplikationsprincipen, additionsprincipen?). Inte lika enkelt att göra som #2 när talen blir större.
Metoden i stort brukar kallas principen för inklusion och exklusion (pie). Först räknar man ut första mängden(A), sedan andra mängden(a), och unionen ´består av A + a - (A snitt a), man antar i sista steget att båda är sanna samtidigt, och att alla de möjliga fallen har räknats dubbelt och behöver tas bort en gång.
Tack, går det att räkna med multiplikationsprincipen eller additionsprincipen också?
Nej, båda de principerna bygger på att mängderna är disjunkta, alltså att det inte finns något element som kan ingå i båda. Det är en bra vana att alltid kontrollera om de kan ha något gemensamt innan man börjar räkna, för i så fall behövs andra metoder. Om ni inte har gått igenom det så är antagligen siffrorna så små att man ska kunna testa sig fram.
