Vinklar x

Har du skrivit av frågan rätt? Du behöver kunna radianbegreppet för frågan som den står.

Ja, det var frågan. Det här kapitlet har inte behandlat radianer ännu

naturnatur1 skrev:

Undersök för vilka vinklar x som

Sin x = 3x

Kan någon hjälpa mig på traven?

Har du verkligen skrivit av frågan rätt?

Ekvationen sin(x) = 3x har endast en enda lösning, nämligen x = 0, så det stämmer inte alls överens med det som står I facit.

Rita graferna till y = sin(x) och y = 3x i samma koordinatsystem för att övertyga dig om det.

Ursäkta mig! Hade missat skriva ett sin framför 3x. 

Sin x = sin 3x 

Ja, då finns det flera lösningar.

De två lösningsmängderna kan du få fram genom ekvationerna

x = 3x +n•360°

och

x = 180° - 3x + n•360°.

Förstår du varför?

Yngve skrev:

Ja, då finns det flera lösningar.

De två lösningsmängderna kan du få fram genom ekvationerna

x = 3x +n•360°

och

x = 180° - 3x + n•360°.

Förstår du varför?

Den nedre förstår jag, men den övre förstår jag inte hur man kommer fram till den 

Vi tar ett mer generellt exempel.

Är du med på följande?

Ekvationen sin(u) = sin(v) har lösningsmängderna

u = v + n•360°

och

u = 180° - v + n•360°

Yngve skrev:

Vi tar ett mer generellt exempel.

Är du med på följande?

Ekvationen sin(u) = sin(v) har lösningsmängderna

u = v + n•360°

och

u = 180° - v + n•360°

Ja, det är jag med på

OK bra.

Och är du med på att detta gäller oavsett vad u och v är?

Byt i så fall ut u mot x och v mot 3x så får du just ekvationerna i svar #6.

Yngve skrev:

OK bra.

Och är du med på att detta gäller oavsett vad u och v är?

Byt i så fall ut u mot x och v mot 3x så får du just ekvationerna i svar #6.

Varför blir det bara + n * 360 på de högra leden? ( Efter att man tagit arcsin bör det väl gälla båda sidorna? , Alltså även vänsterled)

Det behövs inte, jag ska försöka förklara varför.

Om du skriver dit en periodicitet även i vänsterledet, så måste du välja ett annat heltal än n, t.ex. enligt nedan. Förstår du varför?

x + m•360° = 3x + n•360°

Subtrahera nu m•360° från båda sidor:

x = 3x + (n-m)•360°

Eftersom både n och m är heltal så är även n-m ett heltal, vi kan kalla det k:

x = 3x + k•360°

Ser du nu att det inte behövdes en periodicitet i vänsterledet?

Yngve skrev:

Det behövs inte, jag ska försöka förklara varför.

Om du skriver dit en periodicitet även i vänsterledet, så måste du välja ett annat heltal än n, t.ex. enligt nedan. Förstår du varför?

x + m•360° = 3x + n•360°

Subtrahera nu m•360° från båda sidor:

x = 3x + (n-m)•360°

Eftersom både n och m är heltal så är även n-m ett heltal, vi kan kalla det k:

x = 3x + k•360°

Ser du nu att det inte behövdes en periodicitet i vänsterledet?

Jag hänger inte riktigt med, skulle du kunna förklara, tack på förhand 

Vad är det du inte hänger med på?

Varför du måste välja ett annat heltal m eller något annat?

Yngve skrev:

Vad är det du inte hänger med på?

Varför du måste välja ett annat heltal m eller något annat?

Ja, varför måste man välja ett annat heltal?

Är det för att, om det är samma så skrivs "+ n •360" endast på en sida? 

Om vi vill ha det på båda sidorna måste alltså heltalet vara olika så att det blir två perioder? Hoppas det inte blev rörigt

naturnatur1 skrev:

Ja, varför måste man välja ett annat heltal?

Om vi väljer samma heltal på båda sidor så är det som att de trigonometriska funktionerna tvingas att gå "i takt" och vi kommer då att tappa bort alla lösningar utom två:

sin(x) = sin(3x)

Ena lösningsmängden:

x+n•360° = 3x+n•360°

Subtrahera n•360° från båda sidor:

x = 3x

Enda lösningen här är x = 0°.

Andra lösningsmängden:

x+n•360° = 180°-3x+n•360°

Subtrahera n•360° från båda sidor:

x = 180°-3x

Addera 3x till båda sidor:

4x = 180°

x = 45°

==============

Om vi använder samma heltal på bägge sidor så får vi att ekvationen endast har lösningarna x = 0° och x = 45°, vilket inte stämmer.