Vinkelrät tangent

Det är lite svårt att hänga med i ditt resonemang, men ekvationen för den första tangenten är inte korrekt.

Du vet att y = kx + m och att k = 2, vilket ger dig att y = 2x + m. Du vet att punkten (1,1) ligger på den linjen. Använd det för att bestämma m.

========

Har du ritat?

Kan du i så fall visa din skiss och hur dina uträkningar relaterar till den?

Om inte, rita en skiss och utgå från den i dina uträkningar.

== Tips:

Tangenten med tangeringspunkt (1,1) har lutningen 2. Den vinkelräta tangenten har därför lutningen -1/2.

Du bör nu ta reda på tangeringspunkten för den tangent som har lutningen -1/2 för att sedan kunna bestämma ekvationen för den tangenten.

Okej, nästan allt var fel ☹️

y’=2x så ger punkten (1,1) => y’(1)=2•1=2 => y=2x+m => 1=2•1+m => m=-1 => y=2x-1

Hur får jag tag på den tangentens punkter? 

Nej, har inte ritat. Får göra det när jag har förstått uppgiften lite bättre.

Ett bra sätt att förstå uppgiften lite bättre är just att rita. Gör så här. Det behöver inte vara exakt för du ska ändå inte använda skissen för att mäta eller läsa av några värden.

1. Rita parabeln $y=x^2$
2. Rita en tangent i punkten $(1,1)$. Detta är den första tangenten.
3. Ta en linjal och lägg den så att den korsar den första tangenten i rät vinkel var som helst längs med tangenten.
4. Parallellförflytta linjalen så att den precis tangerar parabeln.
5. Rita en linje längs med linjalen. Detta är den andra tangenten.
6. Skärningspunkten mellan de två tangenterna är det som efterfrågas i uppgiften.

======

Du har helt korrekt konstaterat att ekvationen för den första tangenten är $y=2x-1$.

======

Nu till din fråga "Hur får jag tag på den tangentens punkter?"

• Vilken tangent? Den första eller den andra?
• Vad menar du med "punkter"? Tangeringspunkt? 

Den andra tangenten. Den första tangenten har ju en skärningspunkt i (1,1). Den andra tangenten skär den första någonstans. Och det är väll den skärningspunken jag måste få fram för att få reda på ekvationen för den andra tangenten 

Rita och visa din bild här.

Har du gjort övningen med att rita och konstruera den andra tangenten med hjälp av linjal enligt steg 1 - 6 ovan?

Om du gör det så ser du förhoppningsvis vad som är speciellt med den andra tangeringspunkten och hur du därmed kan bestämma dess koordinater 

Såhär gjorde jag. Inte allt exakt. Men detta är fram tills steg 2.

”Ta en linjal och lägg den så att den korsar den första tangenten i rät vinkel var som helst längs med tangenten”. Hur då? Såhär eller? 

Med T1 och T2 menar jag tangent 1 och tangent 2

Ja ungefär.

(T2 ska egentligen ha en lite annan lutning för att vara vinkelrät mot T1, men det är absolut tillräckligt bra för ditt syfte.)

Gör sedan steg 4, 5 och 6.

Så alltså

Nej så här. Jag har markerat den andra tangentens tangeringspunkt med rött.

Ja juste, så blir det ju. Annars är är det en sekant (det som jag gjorde.

Så det är skärningspunkten mellan dom två som ska tas fram? 

Ja. Och för att göra det så behöver du ta fram ekvationerna för båda tangenterna.

För den första tangenten fick jag ju fram ekvationen, alltså y=2x-1. 

För den andra fick jag enbart fram lutningen, vilket var k=-1/2. Sen visste jag inte hur jag skulle gå vidare 

Du vet att derivatans värde vid punkten x är lika med tangentens lutning vid punkten x.

Du vet att derivatan är 2x och att tangenten har lutningen -1/2.

Frågan är nu, vid vilket x-värde har derivatan 2x värdet -1/2?

Så det blir alltså såhär: 2x=-1/2 => x=-1/4?

Ja det stämmer. Kommer du vidare då?

Jag har k och x, men behöver y för att bestämma m, så att jag kan få en ekvationen i y=kx+m format.  Hittills blir det bara y=-1/2 • -1/4 + m => y=1/8+m

För att bestämma linjens ekvation behöver du endast känna till k-värdet och koordinaterna för en punkt på linjen. Sen kan du göra på samma sätt som du gjorde här.

Du känner till k-värdet och x-koordinaten för en speciell punkt på linjen.

Titta på din figur, fundera lite på vilken punkt jag menar och hur du ska kunna ta reda på dess y-koordinat.