Vinkelfråga

Försökte lösa ut x för ekvationen

$\sin 6 x - \cos 3 x = 0$

Har löst det på två olika sätt och får samma svar båda gångerna. Båda fallen ger lite mer än hälften rätt, typ.

Cos-termen har jag inget problem med, det är med sin jag har krux.

Alt 1 var substitution,

$\sin 6 x - \cos 3 x = 0 \Leftrightarrow / 3 x = u / \Leftrightarrow \sin 2 u - \cos u = 0 \Leftrightarrow 2 \sin u \cos u - \cos u = 0 \Leftrightarrow (\cos u) (2 \sin u - 1) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos u = 0 \\ 2 \sin u - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin u = 1 / 2 \end{cases}$

Vilket ger att (för sin)

$u = 3 x = π / 6 + n 2 π \Leftrightarrow x = π / 18 + n 2 π / 3$

Får samma resultat när jag skippar att substituera.

Men båda är tydligen fel, då svaret för sin är

$x = π / 18 + n 2 π / 9$

enligt facit.

Är det tydligt om jag gör fel vid nåt särskilt tillfälle?

Har facit separata delar för sin och cos?

Nej,

$x = π / 18 + n 2 π / 9, n \in Z eller x = π / 6 + n 2 π / 3, n \in Z$

är facit. Det senare svarsalternativet fick även jag (och jag skrev $n \in Z$ ). Så skillnaden är i perioden för första svaret

Man bör alltid använda sig av enhetscirkeln, när man löser trigonometriska ekvationer. Du har gjort alldeles rätt när du kommer fram till att $\sin u=\frac{1}{2}$ . Här bör du plocka fram enhetscirkeln och konstatera att $\sin u=\frac{1}{2}\Rightarrow u=\frac{\pi}{6}+2\pi n$ eller $u=\pi-\frac{\pi}{6}+2\pi n$ , d v s $3x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$ eller $3x=\pi-\frac{\pi}{6}+2\pi n$ . Där har du de båda ekvationer du skall lösa - du hade dels tappat bort "den andra" lösningen på ekvationen, dels missat att även $2\pi n$ skall delas med 3. (Facit har dessutom slagit ihop de båda lösnigs-skarorna till en enda, bara för att det ser snyggare ut så.)

EDIT: Tack Dr.G som påminde om cosinus-lösningarna, som jag hade glömt.

Du är inte klar.

Sinusekvationen har även en "supplementvinkellösning".

Vad hände med cosinusekvationen?

Rita ut lösningarna till de övriga resultaten för n=0 i en enhetscirkeln...Då kommer du att se att egentligen är perioden för vinklarna 40 grader som motsvarar 2pi/9...D.v.s. att det går att slå ihop alla tre lösningarna i en enda lösning med perioden 40 g.

Jag tror inte det brukar krävas att man slår ihop lösningsuttrycken till ett enda, även om det går.

Svara

Visa senaste svar