Vinkel mellan kurvor

Bestäm alla punkter i området x > 0, y > 0, z > 0 där ytorna $x^{2} - y^{2} + z^{2} + 2 = 0$ och $x^{2} + y^{2} + 3 z^{2} = 8$ skär varandra under rät vinkel. (Med vinkeln mellan ytorna i en punkt på ytorna menas vinkeln mellan ytornas respektive normaler i punkten).

Jag tänkte att kanske skalärprodukten mellan gradienterna av funktionerna skulle funka men verkar inte komma någon vart.

Jo, din ide är OK. Koordinater för skärningspunkt (-er) mellan ytorna?

Visa vad du gjort.

Jag satte:

$f (x, y, z) = x^{2} - y^{2} + z^{2} \Rightarrow \nabla f = (2 x, - 2 y, 2 z) = 2 (x, - y, z) g (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + 3 z^{2} \Rightarrow \nabla g = (2 x, 2 y, 6 z) = 2 (x, y, 3 z) \nabla f \cdot \nabla g = 4 (x^{2} - y^{2} + 3 z^{2}) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - y^{2} + 3 z^{2} = 0$

Det är här jag fastnar..

Kan jag använda sambandet $x^{2} - y^{2} + z^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - y^{2} = - (2 + z^{2})$ ? Så att:

$3 z^{2} - (2 + z^{2}) = 2 z^{2} - 2 = 2 (z^{2} - 1) = 0 \Rightarrow z = 1 (z > 0)$

Hm okej det här känns ju nästan lösbart..

$\{\begin{cases} x^{2} - y^{2} = - 3 \\ x^{2} + y^{2} = 5 \end{cases} 2 x^{2} = 2 \Rightarrow x = 1 (x > 0) 2 y^{2} = 8 \Rightarrow y = 2 (y > 0)$ så (x,y,z) = (1,2,1)

Okej nvm det gick visst! Trodde jag tänkte helt fel men skönt att det verkar varit rätt. Tack!

Svara

Visa senaste svar