Vilse i envariabelns värld (Fixpunktssatsen)

Hej,

Texten nämner satsen om Mellanliggande värde (Bolzanos sats), inte Medelvärdessatsen.

Du vill visa att det finns en punkt ($c$) mellan 0 och 1 sådan att $g(c) = 0$; det gör du genom att visa att det finns punkter ($x$) där $g(x) > 0$ och punkter ($y$) där $g(y) < 0$.

Enligt Bolzano finns det då punkt ($c$) (någonstans mellan $x$ och $y$) där $g(c) = 0$; detta på grund av att $g$ är kontinuerlig och $[0,1]$ är slutet och begränsat.

Okej så jag ska visa satsen genom att sätta in både x och y i funktionen och se vad dess värde blir? Hur ska man tänka i detta fallet? 

RaminBorhan skrev:

Okej så jag ska visa satsen genom att sätta in både x och y i funktionen och se vad dess värde blir? Hur ska man tänka i detta fallet? 

Jag har skrivit hur man tänker. Vad var det som var otydligt i det som jag skrev?

Jag förstår inte hur man ska bevisa att det finns punkter när man inte har fått en specifik funktion utan endast f(x) eller g(x).

Tack!

• Vad kan du säga om differensen $f(0)-0$?
• Vad kan du säga om differensen $f(1)-1$?

Albiki skrev:

• Vad kan du säga om differensen $f(0)-0$?
• Vad kan du säga om differensen $f(1)-1$?

Att den första kommer vara positiv och den andra negativ kanske?

RaminBorhan skrev:

Albiki skrev:

• Vad kan du säga om differensen $f(0)-0$?
• Vad kan du säga om differensen $f(1)-1$?

Att den första kommer vara positiv och den andra negativ kanske?

Och sen har du provat att tillämpa satsen om mellanliggande värden som uppgiften föreslår?

Smaragdalena skrev:

Vad är det du behöver hjälp med?

Jag lyckades lista ut fråga a) men kommer inte igång på b) frågan!

RaminBorhan skrev:

Smaragdalena skrev:

Vad är det du behöver hjälp med?

Jag lyckades lista ut fråga a) men kommer inte igång på b) frågan!

Börja med att visa att förutsättningarna för att man skall kunna använda fixpunktssatsen är uppfyllda. 

Uppgift b.

• Visa att $0.1x^3+0.2$ är en kontinuerlig funktion på [0,1].
• Visa att $0\leq 0.1x^3+0.2 \leq 1$ då $0\leq x \leq 1$.