Vilket närmevärde får π?

1. Sätt upp ekvationerna för cirkelns area och dess omkrets.

2. Eftersom pi ska vara okänd så byt för tydlighetens skull den till x.

3. Sätt in dessa två ekvationer i babylonernas uttryck.

4. Lös ut x vilket ger värdet för pi enligt det gamla folket

Stoppa in formlerna för arean och omkretsen, förslagsvis uttryckt i radien.

Tusen tack, båda två!! Nu fick jag det till 3 :)

Hej,

Cirkelns area beräknas med formeln $\pi r^2$ och cirkelns omkrets med formeln $2\pi r$ varför den babyloniska metoden ger sambandet $12 \pi r^2 = 4\pi^2 r^2$ som är samma sak som $3=\pi.$

Ett bättre närmevärde på $\pi$ fås om man istället använder följande metod.

    $\text{Cirkelns area} = \frac{7(\text{Omkretsen})^2}{88}$

Denna metod ger $88\pi r^2 = 7\cdot 4\pi^2 r^2$ som är samma sak som $\frac{88}{4\cdot 7} = \pi$ det vill säga

    $\pi = \frac{22}{7} =3.142857...$ (decimalerna upprepas i all oändlighet). 

Ett ännu bättre närmevärde på $\pi$ fås med följande metod (Srinivasa Ramanujan).

    $\text{Cirkelns area} = \frac{113\cdot(\text{Omkretsen})^2}{1420}.$

Denna metod ger $\pi = \frac{355}{113} = 3.1415\,9292\,0353\,9823\,...$

Jämför med det verkliga värdet på $\pi$ som är

    $3.1415\,9265\,3589\,7932\,3846\,2643\,3832\,795...$ (decimalerna upprepas aldrig)

Att 355/113 är ett bra närmevärde räknade tydligen en kinesisk matematiker ut på 400-talet, så det var nog allmänt känt bland många på Ramanujans tid. Däremot kom denne på en egen underlig formel för $\pi$.