Vilket försäljningspris ska sättas för att maximera vinst?

Jag kan testa att sätta in olika värden på q i funktionen som beskriver efterfrågan. Vi ser att när kvantiteten är större än 625 så betalar kunderna ett lägre pris än 40 kr.

När kvantiteten är mindre än 625 betalar kunderna ett högre pris än 40 kr. 
Se exempel nedan.

p=1000-*q^-0,5.

p(625)=40

q>625:

p(626)=ca 39,97

p(700)=ca 37,80

p(800)=ca 35,36

p(1000)=ca 31,62

q<625:

p(624)=ca 40,03

p(600)=ca 40,82

p(500)=ca 44,72

p(300)=ca 57,74

Jag har nu analyserat några av resultaten:

När man har kvantiteten 625 och säljer plaggen för 40 kr styck får man in 25 000 kr (625*40) och man har köpt in dem för 12 500 kr (625*20). Man gör en vinst på 12 500 kr.

När man har kvantiteten 626 och säljer plaggen för 39,97 kr styck får man in 25 021,22 kr och man har köpt in dem för 12 520 kr. Man gör en vinst på 12 501,22 kr.

När man har kvantiteten 624 och säljer plaggen för 40,03 kr styck får man in 24 978,72 kr och man har köpt in dem för 12 497,72 kr. Man gör en vinst på 12 494,72 kr.

Utifrån detta resonemang skulle jag säga att det är ännu bättre att sätta priset något lägre än 40 kr, men man kanske vill avrunda till hela kronor i uppgiften och då stämmer det rätt så väl med 40 kr.

Hur skulle man kunna använda derivering för att räkna ut detta?

Uppgiften ligger nämligen i ett avsnitt i boken som handlar om extrempunkter. (Grundläggande matematik för samhällsvetare och ekonomer).

Till att börja med, vad menar du med "p=1000-*q^-0,5"? Jag förstår inte vad kombinationen av ett - (som antingen kan betyda subtraktion eller att det är ett negativt tal) direkt följt av ett* som brukar betyda multiplikation skulle kunna betyda.

Vad betyder p, och vad betyder q?

Förlåt! Det ska inte vara något minustecken och * ska vara ett gånger-tecken (multiplikation). Det var ett slarvfel som jag även kopierat till mitt inlägg nr 2 i tråden.

Det ska alltså stå 

p = 1000 * q^-0,5

där p står för pris och q står för kvantitet.

Funktionen p(q) ska visa hur priset beror av kvantiteten i efterfrågekurvan för en viss typ av skjortor.

Så det skall vara p = 1000 * q^-0,5 eller snyggare skrivet $p=\frac{1000}{\sqrt{q}}$?

Om han säljer q stycken skjortor till priset p kr/st kommer han att få in p^.q kronor. Att köpa in q stycken skjortor kostar 20q kronor. Vinsten blir alltså V = pq -20q. Nu har vi två variabler, och eftersojm vi vill ta fram V som en funktion av p behöver vi lösa ut q ur p(q). När vi har gjort det och fått fram en funktion V(p) kan vi derivera denna och undersöka vilket värde på p som ger derivatan 0.

Se här

Om vi tillverkar kvantiteten $q$ skjortor och vi säljer alla till priset $p$ får vi en intäkt $pq$.

Nu undrar vi om det lönar sig att tillverka ytterligare en skjorta. För att det ska vara lönsamt för oss måste den extra skjortan åtminstone inbringa sin produktionskostnad $c$ på marginalen. Annars går vi ju med förlust på den sista skjortan.

Om vi deriverar $(pq)^{'}_q$ inser vi att ökningen av intäkt (lutningen) måste motsvara besväret (kostnaden), dvs

$(pq)^{'}_q=c$

$\frac{1000}{2\sqrt{q}}=c\, \Rightarrow q=625$

Den sista ökningen vi kan göra är alltså från $q=625$ till $q=626$.

Tack Smaragdalena och Jroth!

Ytterligare ett strå till stacken
Jag skulle börja precis som Smaragdalena, men jag skulle fortsätta på ett annat sätt:

Vinsten är alltså skillnaden mellan intäkter och kostnader. 

          V(q) = I(q) – K(q)

          p = 1000 q^(-0,5)                   efterfrågefunktion

I(q)  = p·q = (1000 q^-0,5)·q         totalintäkt

K(q) = 20·q                                          totalkostnad

V(q)  = (1000 q^-0,5)·q – 20·q      vinst

Bestäm  q  så att V(q) maximeras.
Bestäm  p  (ur efterfrågefunktionen) för detta värde på  q

Jag har en följdfråga till Jroth:

Vad är det egentligen som vi deriverar när vi deriverar (pq)_q’  ? 

Jag förstår att det är intäkten.

Men hur kommer det sig att lutningen blir just 1000/2*sqrt(q)  ?

Jag har även ett par följdfrågor till Smaragdalena:

Hur gör man egentligen när man löser ut q och får funktionen V(p) ?

Hur kommer det sig att du multiplicerar med just

1 000 000 ? Jag tittade noga på hur du gjort i Wolfram Alpha.

Jag hoppar in:
Det är totalintäkten vi deriverar:   
      I(q)  = p·q = (1000 q^-0,5)·q         totalintäkt
(då får vi det som ekonomer kallar marginalintäkten)

Den ska ställas mot derivatan av totalkostnaden  ( c·q )
(som ekonomer kallar marginalkostnad).

När marginalintäkten är lika med marginalkostnaden är vinsten som störst (eller minst).

Svar till Arktos:

Bestäm  q  så att V(q) maximeras. 

Jag får maxvärde på kurvan i punkten (625, 12500). Det betyder att q = 625 där q är kvantiteten och y = 12500 där y är vinsten.

Bestäm  p  (ur efterfrågefunktionen) för detta värde på  q

Priset är 40 kr eftersom 1000*(625^-0,5) = 40.

Bra metod som passar mig på min nuvarande nivå i matematiken. Tack Arktos.

Så bra att du även förklarade i ekonomiska termer. Jag tror att uppgiften är en typisk nationalekonomi-uppgift.

Kanelbullen skrev:

Jag har en följdfråga till Jroth:

Vad är det egentligen som vi deriverar när vi deriverar (pq)_q’  ? 

Jag förstår att det är intäkten.

Men hur kommer det sig att lutningen blir just 1000/2*sqrt(q)  ?

Arktos har redan förklarat, men mitt svar kanske ändå är av värde då det har ett lite större fokus på marginalen.

För varje ny enhet (skjorta) som avsätts på marknaden får företaget, som strävar efter att maximera vinsten, ett tillskott till totalintäkten som är lika med marginalintäkten. (marginal revenue $MR$)

Varje ny enhet ger också ett tillskott till totalkostnaden som är lika med marginalkostnaden. (marginal cost $MC$)

Så länge marginalintäkten är större än marginalkostnaden för varje ytterligare enhet av varan, får företaget ett posittivt tillskott till totalvinsten.

Företaget gör en positiv marginalvinst.

Skulle däremot en ökning av kvantiteten $q$ med en enhet innebära att marginalintäkten är lägre än marginalkostnaden får vi ett vinstbortfall. Marginalvinsten blir då negativ. Eftersom företaget är vinstmaximerande får detta inte inträffa.

Företaget kommer därför maximera sin vinst vid den kvantitet $q$ vid vilken marginalintäkten är lika med marginalkostnaden $MR=MC$.

Marginalintäkten $MR$ är derivatan av den totala intäkten $TR(q)=pq=1000\sqrt{q}$, dvs $MR=\frac{1000}{2\sqrt{q}}$

Marginalkostnaden är derivatan av totala kostnaden $TC(q)=20q$, vilket i vårt fall är $MC=20$ kr / skjorta.

Du har rätt.
Det är en typisk uppgift i den del av nationalekonomi  som kallas mikroteori.
Där löser man den också ungefär som jag gjorde ovan.

Kul att höra att metoden passade dig!

Tack så mycket Jroth och Arktos.

Mycket bra förklarat om marginalintäkt och marginalkostnad Jroth. Jag förstår precis.

Kanelbullen skrev:

...

Jag har även ett par följdfrågor till Smaragdalena:

Hur gör man egentligen när man löser ut q och får funktionen V(p) ?

Hur kommer det sig att du multiplicerar med just

1 000 000 ? Jag tittade noga på hur du gjort i Wolfram Alpha.

Du löser ut q ur formeln $p=\frac{1000}{\sqrt{q}}$ på precis samma sätt som du löste ekvationer i Ma1:

Gör precis samma sak på båda sidor. 

Börja med att multiplicera båda sidor med $\sqrt{q}$. Dela båda sidor med $p$. Kvadrera båda sidor. Klart. Då har du fått faktorn 1 000 000 i täljaren som jag bröt ut för att det skulle bli tydligare (tyckte jag).

Tack Smaragdalena. Då förstår jag. Det var ju inga konstigheter där :-)