Vilket av följande tal är störst och vilket är minst?

Får du inte använda miniräknare ?

Nej, det är inte tillåtet sedan på tentan att använda miniräknare. Så jag måste hitta metoderna att räkna allt i huvudet.

Då kommer jag inte längre än du har gjort :(
men ska fundera på det....      

Jag kommer bara på den fruktansvärda idén att upphöja alla tre talen till 15...

Jag kommer på idén att till att börja med upphöja 4/3 till tre och till fem och jämföra med två respektive tre. 

Hur menar du Laguna? Kan du visa?

Laguna skrev:

Jag kommer på idén att till att börja med upphöja 4/3 till tre och till fem och jämföra med två respektive tre. 

Upphöja till tre:  Det ger att  4/3  (64/27=2,37)  är större än  2^1/3  (2)

Upphöja till fem:  Det ger att  4/3  (1024/243=4,21)  är större än 3^1/5 (3)

Men det säger inte vilket tal som är minst.

--------------------

Smaragdalenas  idé gör att alla tre talen kan jämföras men hur lång tid tar det
att räkna ut  4^15/3^15 ?

Ja, Smaragdalena, din idé fungerade fint.

Jag fick att $(3^{\frac{1}{3}}{)}^{15}=3^3=27$ och att $(2^{\frac{1}{2}}{)}^{15}=2^5=32$ och att ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{15} \approx 74$ (eller egentligen närmare 75 när jag tog det på räknaren). 

Det tog en stund att räkna ut den sista, men det gick bra. Det är möjligt att göra så t.ex. på en tenta.

Jag kunde se att $B=\frac{4}{3}\approx 75$ är störst och att $A= \sqrt[5]{3}= 27$ är minst.

Det är relativt enkelt att jämföra B med A respektive C. Utmaningen är att konstatera vilket som är minst av A och C.

Jag kom fram till att genom att istället jämföra talen:

$4A$ med $4C$ så kommer man på ett rätt enkelt och elegant sätt fram till lösningen.

larsolof skrev:

Laguna skrev:

Jag kommer på idén att till att börja med upphöja 4/3 till tre och till fem och jämföra med två respektive tre. 

Upphöja till tre:  Det ger att  4/3  (64/27=2,37)  är större än  2^1/3  (2)

Upphöja till fem:  Det ger att  4/3  (1024/243=4,21)  är större än 3^1/5 (3)

Men det säger inte vilket tal som är minst.

--------------------

Smaragdalenas  idé gör att alla tre talen kan jämföras men hur lång tid tar det
att räkna ut  4^15/3^15 ?

Vi får veta att 4/3 är större än de båda andra, så den måste vara störst.

Sedan kan vi jämföra de båda andra två genom att upphöja dem till 15 och då får vi veta vilken av dem som är minst. Den som är minst av dessa två är även minst av alla tre talen.

Jag håller med om att det var ganska tidsödande att beräkna 4/3 upphöjt till 15, men det alternativet fungerade också bra, tycker jag.

TACK för all hjälp!

tomast80 skrev:

Det är relativt enkelt att jämföra B med A respektive C. Utmaningen är att konstatera vilket som är minst av A och C.

Jag kom fram till att genom att istället jämföra talen:

$4A$ med $4C$ så kommer man på ett rätt enkelt och elegant sätt fram till lösningen.

Hur gör du när du jämför 4A med 4C? Det hade varit roligt att se hur snyggt det blir?

Jag förstår det som att du multiplicerar talen med 4?

$4A=4\sqrt[5]{3}=\sqrt[5]{3\cdot 1024}$

$=\sqrt[5]{3072}<\sqrt[5]{3125}<$

$\sqrt[5]{3125}=\sqrt[5]{5^5}=5$

$4C=4\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot 64}=\sqrt[3]{128}>$

$\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^3}=5$

Alltså:

$4A<5$ och $4C>5$ innebär:

$A<C$

Min LaTex-kod ser hemsk ut, vet faktiskt inte varför. Kan någon moderator kolla på det, tack?

Det vanliga sättet att skriva tredje rötter med "\sqrt[3]{x}" verkar ha slutat fungera i längre latex-strängar.

Man kanske istället kan komma runt detta med "{}^3\sqrt{x}":

${}^3\sqrt{x}$

EDIT: Nja, det såg inget vidare ut..

EDIT #2: Det verkar som det blir problem om man använder flera tredje rötter inom samma dollar-dollar-sekvens. Det verkar fungera om man delar upp dem. Här är tomasts kod där jag gjort detta:

$4A=4\sqrt[5]{3}=$ $\sqrt[5]{3\cdot 1024}=$ $\sqrt[5]{3072}<$ $\sqrt[5]{3125}<$

$\sqrt[5]{3125}=$ $\sqrt[5]{5^5}=5$

$4C=4\sqrt[3]{2}=$ $\sqrt[3]{2\cdot 64}=$ $\sqrt[3]{128}>$

$\sqrt[3]{125}=$ $\sqrt[3]{5^3}=5$

Stort tack, AlvinB!

Lisa, är du med på tänket? Man försöker hamna nära ett heltal efter rotutdragning.

Att upphöja A och C till 15 är inte så farligt. Vi får alltså jämföra 3³ med 2⁵.

Hej!

Till att börja med noterar jag att samtliga tre tal tillhör intervallet $(1,2)$. Sedan kan man uttrycka dem med samma bas, exempelvis 10.

    $A=10^{\frac{1}{5}\log 3}$ och $B=10^{\log \frac{4}{3}}$ och $C=10^{\frac{1}{3}\log 2}.$

Det gäller nu att jämföra de tre talen $\frac{1}{5}\log 3$ och $2\log 2-\log 3$ samt $\frac{1}{3}\log 2$.

Albiki skrev:

Hej!

Till att börja med noterar jag att samtliga tre tal tillhör intervallet $(1,2)$. Sedan kan man uttrycka dem med samma bas, exempelvis 10.

    $A=10^{\frac{1}{5}\log 3}$ och $B=10^{\log \frac{4}{3}}$ och $C=10^{\frac{1}{3}\log 2}.$

Det gäller nu att jämföra de tre talen $\frac{1}{5}\log 3$ och $2\log 2-\log 3$ samt $\frac{1}{3}\log 2$.

Och hur gör du det, om du inte har tillgång till miniräknare?

Definitionen av logaritmfunktionen ger

    $\log(1+u)-\log(u)=1/t$ för något $u<t<1+u$

speciellt att

    $\log 3 = \log 2 + 1/t$ för något $2<t<3$

vilket betyder att

    $\log 2 + \frac{1}{3} < \log 3 < \log 2 + \frac{1}{2}.$

Det ger

    $\frac{1}{5}\log 2 + \frac{1}{15} < \frac{1}{5}\log 3 < \frac{1}{5}\log 2 + \frac{1}{10}$

och

    $\log 2 - \frac{1}{2} < 2\log 2-\log 3 < \log 2 - \frac{1}{3}.$

Notera att

    $\frac{1}{5}\log 2 + \frac{1}{15} = \frac{1}{5}(\log 2 + \frac{1}{3})$

och

    $\frac{1}{5}\log 2 + \frac{1}{10} = \frac{1}{5}(\log 2 + \frac{1}{2}).$

Lisa Mårtensson skrev:

Ja, Smaragdalena, din idé fungerade fint.

Jag fick att $(3^{\frac{1}{3}}{)}^{15}=3^3=27$ och att $(2^{\frac{1}{2}}{)}^{15}=2^5=32$ och att ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{15} \approx 74$ (eller egentligen närmare 75 när jag tog det på räknaren). 

Det ska vara att $(3^{\frac{1}{5}}{)}^{15}=3^3= 27.$ Jag skrev fel exponent inom parentesen efter basen 3.

Tack, ja jag tror jag hänger med på det mesta.

Intressant att se hur jag kan lösa uppgiften med hjälp av  logaritmering.

tomast80 skrev:

Stort tack, AlvinB!

Lisa, är du med på tänket? Man försöker hamna nära ett heltal efter rotutdragning.

Ja, jag är med på tänket ;-) att försöka komma nära ett heltal för att göra jämförelser.

Det skulle vara lite svårt för mig dock att avgöra, utan räknare, vilket som var störst av 

$\sqrt[3]{128} och 5\frac{1}{3}, dvs 4C och 4B.$

4A är mindre än 5, 4A$\approx$4,9829.

4B får vi genom att räkna ut $4·\frac{4}{3}\approx 5,3333$.

4C är större än 5, men ändå mindre än 4B. 4C$\approx$5,0397.

Storleksordningen vi får, med störst först, är alltså 4B, 4C, 4A.

(Nu använde jag räknaren för att kontrollera.)