Vilken rest erhålls vid division med 7?

Uppgiften lyder

Vilken (icke negativ) rest erhålls då $6^{17} + 17^{6}$ divideras med 7?

Här ser jag att det är dags att räkna modulo igen.

Jag ska på smartaste sätt ta fram resten i vardera term och därefter addera dem med varandra.

Jag noterar att bas och exponent har bytt plats i de båda termerna, men med min kännedom om moduloräkning är det ingenting som jag kan utnyttja, utan det är bara en snygg detalj (tror jag).

Om jag börjar med $6^{17}$ så skulle jag kunna översätta den termen till $(6^{2})^{8} \cdot 6$ eftersom exponenterna då blir $2 \cdot 8 + 1 = 17$ .

$6^{2} \equiv 1 (m o d 7)$ så då har jag att $1^{8} \cdot 6$ , dvs bara 6 är kvar i den första termen.

Skulle 6 då vara resten i den första termen? Jag känner mig rätt så osäker på det här. Guida mig gärna vidare!

Ja, det är ett sätt. Det finns dock ett snabbare sätt på den första termen. Man kan nämligen konstatera att $6$ är kongruent med $-1$ modulo $7$ vilket ger:

$6^{17}=(-1)^{17}\ \pmod{7}=-1\ \pmod{7}=6\ \pmod{7}$

På $17^6$ går det inte att göra så här, då får man nog använda din metod.

När det gäller $17^{6}$ har jag resonerat så här:

Vi har att $2 \cdot 3 = 6$ och då är $17^{6} = (17^{2})^{3}$

$17^{2} \equiv 2 (m o d 7)$

$2^{3} \equiv 1 (m o d 7)$

Då har vi fått resten 1 när vi delar $17^{6}$ med 7.

När vi nu adderar de båda resterna från $6^{17}$ och $17^{6}$ sp får vi 6+1=7

och $7 \equiv 0 (m o d 7)$

Resten är alltså 0.

Verkar det jag skriver stämma?

Svara

Visa senaste svar