Vilken period har funktionen..

Vilken period har funktionen f(x)=sin(2x)+cos(3x)?

Min första instinkt är att skriva om cos(3x) till cos(x+2x) och därefter utveckla termen med hjälp av additionsformel för cosinus.

$\cos (x + 2 x) = \cos x \times \cos (2 x) - \sin x \times \sin (2 x)$

Då har vi: $f (x) = \sin (2 x) + \cos x \times \cos (2 x) - \sin x \times \sin (2 x)$

Sedan utvecklar jag båda sin(2x)

$f (x) = 2 \sin x \cos x + \cos x \times \cos (2 x) - \sin x (2 \sin x \cos x) = 2 \sin x \cos x + \cos x \times \cos (2 x) - 2 \sin ² x \cos x$

tillsist utvecklar jag termen $\cos x \times \cos (2 x)$ där $\cos (2 x) = 1 - 2 \sin ² x$

och då har vi funktionen:

$f (x) = 2 \sin x \cos x + \cos x - 4 \sin ² x \cos x$

Jag har försökt att ta mig vidare genom att sätta f(x)=0 och dividera varje term med cosx och då får vi en andragradsfunktion som jag därefter löste ut nollställen. Jag ville bevisa att funktionens period är 360 grader genom att visa att det är 180 grader mellan två nollställen men jag fick inte resultatet jag sökte efter.

Facit säger att perioden är 360 grader.

Finns det någon vänlig själ som kan vägleda mig?

Mvh

Sin 2x har period 360/2=180

Cos 3x har 360/3=120

180=2*2*3*3*5

120=2*2*2*3*5

Tar vi bort det som är gemensamt (2*2*3*5)

så har vi 3 kvar på 180 och 2 på 120. Vi behöver alltså ta 180 *2 och 120*3 för att bygga den minsta gemensamma multipeln 360.

Det går säkert se på lättare sätt mitt i men tycker det är skönt att ha en metod att luta sig mot också.

Jag är inne på ungefär samma sak som Micimacko. Det är nog svårt att skriva om f(x) till en analytisk funktion där man enkelt kan se periodiciteten. Snarare ska man nog titta på sin-funktionen och cos-funktionen för sig, och se vilken periodicitet respektive funktion har, och observera att tre perioder av cos-funktionen sammanfaller med två perioder av sin-funktionen, och sedan börjar de om.

Tack så mycket för hjälpen! Jag har studerat graferna och (cos) når tre perioder när (sin) når två perioder men hur drar ni slutsatsen att summan av deras funktioner får perioden 360 grader?

Det intressanta i sammanhanget är att vi har två funktioner med olika periodicitet, och allt vi behöver veta är deras perioder. Perioderna är $\pi$ respektive $\frac{2\pi}{3}$ . Perioden hos en kombination av funktionerna (linjärkombination eller något annat) är det minsta tal P som båda dessa perioder går jämnt upp i, alltså $P = m\cdot\pi$ och $P = n\cdot\frac{2\pi}{3}$ för några heltal m och n.

Eventuellt kan funktionerna ha något roligt beroende som gör att perioden blir mindre, jag vet inte hur man avgör det bäst.

Rita!

Schwed skrev:
Tack så mycket för hjälpen! Jag har studerat graferna och (cos) når tre perioder när (sin) når två perioder men hur drar ni slutsatsen att summan av deras funktioner får perioden 360 grader?

Beräkna periodiciteten på delfunktionerna, som Laguna föreslår, och multiplicera med heltalen.

Men som Smaragdalena säger, rita. Om du har tillgång till grafritare, prova dig fram med olika värden på faktorerna så kommer du att upptäcka hur grafen beter sig. Rita också delfunktionerna separat, och se hur de läggs på varandra när man adderar dem. Jättebra för förståelsen.

Så har jag förstått detta korrekt med hur jag tar reda på period? Om vi har f(x)=sin(ax)+cos(bx)

Först tar vi reda på perioden för båda delfunktioner; $\frac{360}{a} o c h \frac{360}{b}$ och därefter ska jag multiplicera dessa med olika heltal så att de får det minsta gemensamma period möjligt, vilket tillsist blir perioden för hela summan av delfunktionerna?

Förlåt om det känns som det är uppenbara saker ni hjälper mig med, matematik är inte mitt starkaste område men jag är grymt tacksam för all er hjälp! Jag har lekt lite med grafräknaren, undersökt olika funktioner och jag börjar få en klarare bild över hur dessa typer av funktioner fungerar :)

Schwed skrev:
Så har jag förstått detta korrekt med hur jag tar reda på period? Om vi har f(x)=sin(ax)+cos(bx)
Först tar vi reda på perioden för båda delfunktioner; $\frac{360}{a} o c h \frac{360}{b}$ och därefter ska jag multiplicera dessa med olika heltal så att de får det minsta gemensamma period möjligt, vilket tillsist blir perioden för hela summan av delfunktionerna?

👍👍👍

Svara

Visa senaste svar