Vilken blir övre respektive undre funktion vid beräkning av volym mellan två funktioner?

Hejsan! Jag är inne på avsnittet integraler och variabelbyte (polära koordinater).

Uppgift: Beräkna volymen mellan parablerna paraboloiderna: z₁=10-x2-y2 och z₂=2(x²+y²-1)

Jag har tänkt mig att jag löser uppgiften med en dubbelintegral och allra först vill jag då få fram gränserna till respektive integral.

Först satte jag där av funktionerna lika med varandra: z₁=z₂ och fick då fram x²+y²=4 . Detta gör jag om till polära koordinater och får alltså r=2. VIlket jag drar slutsatseran av att gränserna måste vara 0<r<2 & 0<θ<2π.

Det som då återstår att göra är att sätta in den övre funktionen minus den undre funktionen i en dubbelintegral som har gränserna enligt ovan. Samt göra om funktionerna till polära koordinater för att kunna skriva/beräkna integralerna enligt: rdrdθ, då mina gränsvärden är på denna form.

Min fråga: Hur vet jag vilken som blir övre funktion respektive undre funktion? Hade vi haft tvådimensionella funktioner kan jag rita upp dem på ett papper/grafräknare för att se detta. Men när vi har tredimensionella funktioner vet jag inte hur jag skall göra. Jag är väldigt dålig på att rita tredimensionellt, så om det finns ett sätt att lösa det på utan att skissa grafiskt vore det guld :) Jag är rädd för att man inte märker att man gjort fel om man tagit fel på övre och undre? Mer än att det inte stämmer med facit, hehe

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Välj en punkt $(x,y)$ inom området, till exempel $(x,y)=(0,0)$ .

Beräkna respektive funktionsvärden i den valda punkten. Den funktion som har högst värde i den valda punkten är den "övre" funktionen.

Okej! Men om jag sätter in en punkt (x,y) hur vet jag vad mitt område är? Då jag bara fått fram gränser för det polära koordinatsystemet?

Jag kom på en grej: Funkar det att först göra om funktionerna z₁ och z₂ till polära koordinater. För då får man bara en variabel (r) tänker jag. Det kan man plotta i en grafräknare om man sätter r som vaiabeln? Jag gjorde detta och fick då fram till stycken tvådimensionella parabler, och den som var övre var mycket riktigt den korrekta (z₁). Men känns lite sådär och betrakta r som den enda variabeln i funktionerna och tänka 2d?

Edit: nu råkade jag tydligen skriva ungefär exakt det du satt och funderade över. Men ja, det går alltså utmärkt!

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ett sätt att få ett snabbt grepp om funktionerna är att översätta till ett bekvämare koordinatsystem redan från början.

I det här fallet har du funktionerna $z_1(r)=10-r^2$ och $z_2(r)=2(r^2-1)$ , skissar vi dem lite snabbt på ett papper i rz-planet får vi ungefär den här bilden:

Vid hittar enkelt gränserna $r=\pm2$ och förstår att volymen av $f(x,y)=(10-r^2)-2(r^2-1)$ över cirkelskivan med radien 2 ger oss den sökta volymen.

Andreas Persson skrev:
Okej! Men om jag sätter in en punkt (x,y) hur vet jag vad mitt område är? Då jag bara fått fram gränser för det polära koordinatsystemet?
...

Du måste ju ändå ta reda på vilket området är, annars kan du inte ställa upp integralen.

I det här fallet är skärningen mellan $z_1$ och $z_2$ en enda sluten kurva (cirkeln), vilket innebär att området antingen är innanför eller utanför cirkeln.

Eftersom $z_1$ går mot minus oändligheten och $z_2$ går mot oändligheten då $r$ går mot oändligheten så är den enda slutna volymen innanför cirkeln.

Svara

Visa senaste svar