Vilken av funktionerna g och h är primitiv funktion till f?

Tips:

• Om g(x) är en primitiv funktion till f(x) så gäller att g'(x) = f(x).
• Om h(x) är en primitiv funktion till f(x) så gäller att h'(x) = f(x).

Kommer du vidare då

Det första du borde klura ut är vad f kan vara, känner du igen den här funktionen?

Qetsiyah skrev:

Det första du borde klura ut är vad f kan vara, känner du igen den här funktionen?

Det behövs inte i det här fallet.

Jag trodde att du menade att det första man borde göra var att bestämma f, vilket är onödigt 

Din metod fungerar bra även den, men den är inte lika enkel.

Man tittar på lutningen på g och h när x = 0 och jämför med värdet på f där. Det är allt. 

Det finns många möjligheter för eleven att blanda in saker som går att säga om funktionerna, men som inte hör hit.

Qetsiyah skrev:

Vad ska vi tex dra för slutsats om integreringskonstanten i denna fråga? Och vad hade hänt om basen inte var e?

Integrationskonstanten är inte relevant i denna uppgift. Och det är bara i ditt förslag på lösning vi behöver blanda in exponentialfunktioner och baser. Mitt lösningsförslag går helt och hållet förbi den komplexiteten, vilket säkerligen var vad uppgiftsskaparna avsåg. 

Formellt behöver F'(x)=f(x) gälla alla x, och både min och din lösningsidé funkar inte.

På vilket sätt menar du att min lösningsidé inte funkar?

Nu var det tur att det var tydligt, men om bilden inte visade tillräckligt mycket av vänstersidan skulle man inte heller kunna veta att integrationskonstanten ska vara 0.

Som sagt, integrationskonstantens värde är irrelevant i sammanhanget.

Glöm det om integrationskonstanten, jag tänkte fel, men jag håller fast vid att min lösning är elegantare än Yngves. Jag gillar inte grafiska resonemang eftersom, som sagt, det ökar risken att göra fel och det känns brute force. Den första tanken man ska få på denna uppgift är att det ser ut som en exponentialfunktion och att de har speciella egenskaper när de deriveras. Den första reaktionen borde inte vara att räkna ut luningen i x=0

På vilket sätt menar du att min lösningsidé inte funkar?

Jo den fungerar men jag menar att det formellt inte räcker att checka bara en punkt (det räcker för att exkludera funktionen h, men inte för att bekräfta g).

Qetsiyah skrev:

Glöm det om integrationskonstanten, jag tänkte fel, men jag håller fast vid att min lösning är elegantare än Yngves. Jag gillar inte grafiska resonemang eftersom, som sagt, det ökar risken att göra fel och det känns brute force.

Oavsett hur du ställer dig till grafiska resonemang så är det just ett sådant som är tanken med den här uppgiften.

Även din lösningsmetod kräver avläsning i figuren.

Den första tanken man ska få på denna uppgift är att det ser ut som en exponentialfunktion och att de har speciella egenskaper när de deriveras. Den första reaktionen borde inte vara att räkna ut luningen i x=0

Jag tror att det är precis tvärtom.

Dessutom, att det ser ut som en exponentialfunktion är ett antagande som man inte ska behöva göra och ett antagande som man inte heller behöver göra med mitt förslag på lösningsmetod.

Graferna skulle lika gärna kunna höra till polynomfunktioner och då fungerar inte ditt resonemang lika bra.

Jo den fungerar men jag menar att det formellt inte räcker att checka bara en punkt (det räcker för att exkludera funktionen h, men inte för att bekräfta g).

Vad är skillnaden? Formellt så kan inte heller din lösningsmetod bekräfta g, eftersom den baserar sig på antaganden om vilka typer av funktioner som visas.

Jag tror att det är precis tvärtom.

Ja, det får väl avgöras av någon oberoende tredjepart, men jag håller i alla fall inte med.

(Om detta vore ett högskoleprov hade man inte heller haft tid att använda din lösning, smarta argument och obersvationer går före brute force. Om en uppgift frågar hur många gånger större en stuga är jämfört med en mindre stuga, och ingen av de är en perfekt rektangel är det inte gångbart att börja räkna på det, dels för att man inte har en miniräknare och dels för att det inte är den förmågan man ska visa upp i den typen av uppgift. Då skulle ett exempel på en bra observation vara att de kanske är likformiga, och att det räcker med att jämföra kvadraterna på någon diagonal/långsida som är ett fint heltal).

Jag anser att mitt lösningsförslag är det snabbaste eftersom vi då endast behöver avgöra vilken av graferna till $g$ respektive $h$ som har ungefärlig lutning 1 vid x = 0.  Det syns omedelbart vilken det är.

=======

Om vi ska använda ditt förslag på lösning så kommer vi, utöver att visa att $g$ kan vara en primitiv funktion till $f$, dessutom att behöva lägga betydligt mer tid och energi på att visa att $h$ inte kan vara en primitiv funktion till $f$.

Vi börjar med att förutsätta att $f(x)=e^{kx}$. Om $h(x)$ är en primitiv funktion  så gäller det att $h(x)=\frac{e^{kx}}{k}+C$. Vi behöver nu visa att det inte går att konstruera ett sådant $h(x)$ som stämmer med graferna.

För att visa det så måste vi utföra flera avläsningar och uträkningar:

Vi ser att $f(1)\approx1,7$ (första avläsningen), vilket tyder på att $k\approx0,53$ (första uträkningen) och alltså att $f(x)\approx e^{0,53x}$.

Vi skulle då kunna ha att $h(x)=\frac{e^{0,53x}}{0,53}+C$ (andra uträkningen), där $C$ väljs så att $h(0)\approx0,5$ (andra avläsningen).

Efter vår tredje uträkning får vi att då skulle det gälla att $C\approx -1,4$

Så $h(x)\approx\frac{e^{0,53x}}{0,53}-1,4$ skulle kunna vara en primitiv funktion till $f(x)$, eftersom det stämmer med de avläsningar vi gjort.

Vi behöver nu göra ytterligare en avläsning (t.ex. av $h(1)$) och ytterligare en uträkning för att kunna avgöra att denna kandidat till $h(x)$ inte stämmer.

Jag får det till 3 avläsningar och 4 uträkningar, bara för att visa att $h$ inte kan vara en primitiv funktion till $f$.

(Ev felräkningar här beror på trötthet, måste nog sova nu)

====================

Det fungerar, men om det är elegant eller inte, om det är snabbare eller inte och vilken metod som är mest "brute force" har vi nog olika åsikter om. Vilket såklart är OK.

Nej men nu tog du mitt lösningsförslag och gjorde den totalt barbarisk. Mitt lösningsförslag har jag ju redan skrivit, och om det finns osjälvklara logiska hopp som gör den mindre smidig än vad jag själv upplever den som kan du påpeka det istället.

Hur visar du annars att h inte kan vara en primitiv funktion till f?

Jag ser inget i din lösningsmetod som utesluter att både g och h skulle kunna vara primitiva funktioner till f.

Det kommer ju av att en primitiv funktion är unik upp till konstant, dvs om det är g är det inte f, för g och f skiljer sig inte med en konstant eftersom de är exponentialfunktioner och verkar båda gå mot noll till vänster.

Att jag med säkerhet kan påstå att g är rätt svar är för att jag visat det analytiskt och inte för individuellt x genom att använda informationen om vad för klass av funktioner det är vilket du inte har gjort.

Dessa steg har jag tagit i bakgrunden av tankebanorna, tycker du att det är osjälvklart? Min metod kan också vara snabb om man har bra förståelse.

Qetsiyah skrev:

Det kommer ju av att en primitiv funktion är unik upp till konstant, dvs om det är g är det inte f, för g och f skiljer sig inte med en konstant eftersom de är exponentialfunktioner och verkar båda gå mot noll till vänster.

(Jag antar att du menar g och h, inte g och f.)

Det är ju just det som.är grejen.

Om det enda som skiljer g från h är en konstantterm så kan ju båda vara primitiva funktioner till f.

Du måste alltså, utöver att visa att g kan vara en primitiv funktion till f, dessutom visa att g och h inte endast skiljer sig åt med en konstantterm.

Du har rätt i att det rätt enkelt går att se "till vänster", men det är ju ytterligare en avläsning och ett resonemang som ska föras, vilket komplicerar lösningen.

Att jag med säkerhet kan påstå att g är rätt svar är för att jag visat det analytiskt och inte för individuellt x genom att använda informationen om vad för klass av funktioner det är vilket du inte har gjort.

Du har inte analytiskt visat att g är en primitiv funktion till f. Du har resonerat dig fram till det, baserat på avläsningar i graferna och ett antagande om att det är frågan om exponentialfunktioner.

Du skriver att du har använt "informationen om vilken klass av funktioner det är frågan om". Vad menar du med det? Varifrån hämtar du den informationen? Det står ingenting i uppgiften om det.

Att du förutsätter att det är frågan om exponentialfunktioner är istället en svaghet med din lösningsmetod. Tänk om det istället är polynomfunktioner eller något helt annat som visas? Hur täcker du in det i din lösningsmetod?

Att jag inte har gjort några antaganden om vilka typer av funktionrr det är fråga om är istället den stora styrkan med den lösningsmetoden. Det spelar helt enkelt ingen roll vilka typer av funktioner det är frågan om och lösningen blir därmed mer generell.

Du har rätt i att det rätt enkelt går att se "till vänster", men det är ju ytterligare en avläsning och ett resonemang som ska föras, vilket komplicerar lösningen.

Nej, det gör inte min lösning mer komplicerad eftersom det är väldigt enkla resonemang/observationer som inte borde kosta så mycket hjärnenergi eller tid. Snarare adderar det finess och elegans och kreativitet.

Att du förutsätteratt det är frågan om exponentialfunktioner är istället en svaghet med din lösningsmetod.

Det är absolut inte en svaghet, det är en fördel. Det finns ingen betydande osäkerhet kring mitt "antagande" vilket du verkar antyda, om vi nu ska vara pragmatiska.

Vad "analytiskt" betyder är lite löst men min lösning är oavsett mer analytisk än din eftersom den kräver färre beräkningar (att jämföra två tals storlek räknar jag inte som en beräkning) och förlitar sig på kvalitativa observationer. Analytiskt betyder inte att jag har explicit uttryck och integrerar den.

En annan svaghet med din lösning är att den inte skulle fungera om graferna bara skulle bli en aning fulare och svårare att ögonmåtta lutningen på, medan informationen jag förlitar mig på skulle bestå. Att jämföra två tals storlek är enkelt även om de är fula, men att bestämma om de är lika blir svårt. Det här scenariot är dessutom väldigt sannolikt eftersom bokförfattaren kan göra så med flit för att uppmuntra elever att inte brutea bilduppgifter av den här typen.

Vi får väl diskutera den uppgift som faktiskt är given. Det går lätt att föreställa sig att någon har ritat så slarvigt att ingen av kurvorna kan vara lösningen, eller att båda kan vara det.

Båda kan det dock aldrig bli, så länge en går under och en går över f. 

Att i denna uppgift ögonmåtta två lutningar och jämföra dessa med f(0) kräver noll beräkningar, går snabbare och är mer generell än din lösning som helt och håller baserar sig på antagandet att f(x) är en exponentialfunktion. Ett antagande som begränsar lösningsmetodens giltighet och saknar grund utöver att "det ser ut som det".

Du har fortfarande inte svarat på frågan om hur din lösningsmetod täcker in möjligheten att det som visas är grafer till polynomfunktioner. Jag förstår inte hur det kan vara en fördel att helt ignorera den möjligheten.

Men vi kan ju i alla fall enas om att vi inte är eniga.

Qetsiyah skrev:

Båda kan det dock aldrig bli, så länge en går under och en går över f. 

De kan ha lagt till en integrationskonstant :-)

Asså, min metod kräver också noll beräkningar. Den går snabbt om man kan sin grej och angående generalitet så är det den inte det pga det jag precis sa. 

Ett antagande som begränsar lösningsmetodens giltighet och saknar grund utöver att "det ser ut som det".

Du verkar vilja vara pragmatisk och oprgamatisk samtidigt, vad menar du med att det saknar grund utöver att det ser ut som det ser ut? Det räcker väl med att det ser ut som en exponentialfunktion för att vara det, man lär sig dessutom inte om taylorserier i gymnasiet om det är det du syftar på. 

Vi kan väl komma överens om att det är en smakfråga, jag är inte sugen på att diskutera mer.

Qetsiyah skrev:

... och angående generalitet så är det den inte det pga det jag precis sa. 

????

Det räcker väl med att det ser ut som en exponentialfunktion för att vara det ...

Nej, så är det naturligtvis inte.

Vi kan väl komma överens om att det är en smakfråga,

Ja där är jag överens med dig.

jag är inte sugen på att diskutera mer.

Samma här, jag känner mig klar med den här diskussionen.

Tack tack