Vilka x uppfyller olikheten?

Lisa Mårtensson skrev:

Man ska bestämma vilka x som uppfyller olikheten

$\left|x+3\right|+2\left|x-2\right|-2\left|x-1\right|\le 4$.

Skulle någon vilja ge mig något bra råd som gör att jag kommer igång med uppgiften? Inte för mycket hjälp till att börja med, utan bara en knuff i rätt riktning. TACK :-)

 En knuff i en riktning är att dela upp olikheten i olika fall:

För vilka värden på x är x+3, x-2 respektive x-1 positiva/negativa?

Har du ritat en bild av grafen? Gör det om du inte gjort det. Därefter: I vilka punkter finns det en eller flera termer som byter tecken? 

Hej!

1. Markera de tre talen $-3$, $1$ och $2$ på tallinjen.
2. ...

Jag ser att det är tre absolutbelopp: $\left|x+3\right|,\left|x-2\right| och \left|x-1\right|$ men hur ska man tolka +2 och - 2? Ska man multiplicera med dem? Är de faktorer?

Lisa Mårtensson skrev:

Jag ser att det är tre absolutbelopp: $\left|x+3\right|,\left|x-2\right| och \left|x-1\right|$ men hur ska man tolka +2 och - 2? Ska man multiplicera med dem? Är de faktorer?

 Ja.

Lisa Mårtensson skrev:

Jag ser att det är tre absolutbelopp: $\left|x+3\right|,\left|x-2\right| och \left|x-1\right|$ men hur ska man tolka +2 och - 2? Ska man multiplicera med dem? Är de faktorer?

 Ja. Jag tar ett exempel:

Eftersom $|x - 4|$ är lika med

• $x - 4$ då $x\geq 4$ och 
• $4 - x$ då $x<>$

så är $3|x - 4|$ lika med

• $3(x - 4)$ då $x\geq 4$ och 
• $3(4 - x)$ då $x<>$

Nu ska jag ta tag i denna uppgift igen.

Jag undrar om jag har förstått Yngve rätt att i mitt exempel, uppgiften som jag ska lösa.

Gäller alltså följande för mitt exempel?

Eftersom |x-2| är lika med 

x-2 då x$\ge$4 och

2-x då x<4

så är 2|x-2| lika med

2(2-2) då x$\ge$4 och

2(2-x) då x<4.

Likaså att eftersom 

|x-1| är lika med 

x-1 då x$\ge$4 och

1-x då x<4

så är

-2|x-1| lika med

-2(x-1) då x$\ge$4 och

-2(1-x) då x<4.

Jag är särskilt osäker på det sista där jag undrar om det påverkar tecknen $\ge$ och < att faktorn -2 är negativ?

Det är rätt, förutom att du jämför x med 4. När du betraktar x-1 är det 1 du ska jämföra med. 

Lisa Mårtensson skrev:

Nu ska jag ta tag i denna uppgift igen.

Jag undrar om jag har förstått Yngve rätt att i mitt exempel, uppgiften som jag ska lösa.

Gäller alltså följande för mitt exempel?

 

Eftersom |x-2| är lika med 

x-2 då x$\ge$4 och

2-x då x<4

så är 2|x-2| lika med

2(2-2) då x$\ge$4 och

2(2-x) då x<4.

 

Likaså att eftersom 

|x-1| är lika med 

x-1 då x$\ge$4 och

1-x då x<4

så är

-2|x-1| lika med

-2(x-1) då x$\ge$4 och

-2(1-x) då x<4.

Jag är särskilt osäker på det sista där jag undrar om det påverkar tecknen $\ge$ och < att faktorn -2 är negativ?

Hej Lisa.

Det där med absolutbelopp kan vara lite rörigt ibland.

Det kanske underlättar förståelsen om du ritar grafen till funktionen y = |x - 2|.

När du har gjort det kan du enkelt rita grafen till y = 2|x - 2|.

Gör det och visa dina grafer här.

Jag kommer att rita grafer inom kort och visa, ska ta tag i denna uppgiften igen. Tack för råd Yngve.

Lisa Mårtensson skrev:

Snygga grafer Lisa!

Du visar att du förstår hur absolutbeloppen fungerar.

Om du vill kan du nu använda dessa grafer för att klura ut olikhetens lösningar.

Annars kan du använda graferna, dels för att lättare kunna dela upp problemet i mindre delar (olika intervall för x), dels för att verifiera de lösningar du kommer fram till algebraiskt.

Termerna byter tecken vid tre olika punkter på tallinjen, vilka är -3, 1 och 2.

Jag undersöker ekvationen för fyra olika fall vilka är

Fall 1: när x är lika med eller mindre än -3,

Fall 2: när x är mellan -3 och 1,

Fall 3: när x är mellan 1 och 2 samt

Fall 4: när x lika med eller lika med 2.

Jag är osäker på hur jag ska beskriva intervallerna. Fall 1 känns korrekt: $x\le -3.$

Sen när jag kommer till Fall 2 skulle jag kunna säga att det är $-3\le x<1$, men jag får ju snart veta att olikheten inte gäller upp till 1 utan bara till och med lika med eller mindre än -1. Ska det synas redan i hur jag väljer intervall/fall att jag förstått detta, eller räcker det med att skriva så som jag gjort ovan?

Fall 3 skulle jag kunna beskriva som $1<x\le 2$ och det känns riktigt. Eller vad tycker ni?

Fall 4 är när $x\ge 2.$

Jag har provat att sätta in gränserna i ekvationen, t.ex. 1 och då sett att det som står i vänsterledet inte stämmer överens med högerledet. Alltså att det som står i VL inte är $\le 4$.

Jag sätter in 1 i stället för x:

$$\begin{gathered} \left|1+3\right|+2\left|1-2\right|-2\left|1-1\right|\le 4 \\ 4+2\left(1\right)-2\left(0\right)\le 4 \\ 4+2\le 4 \end{gathered}$$

vilket inte stämmer eftersom 6 inte är mindre än eller lika med 4.

Då uppfyller ju inte 1 olikheten och ska då 1 ens vara med i intervallet?

Vidare har jag räknat som följer för att lösa denna uppgift.

Jag löser ut olikheterna för de fyra olika fallen genom att titta på om det som står inom absolutbeloppstecknet är positivt eller negativt för det givna intervallet. Om det som står inom absolutbeloppstecknet blir negativt byter jag tecken på faktorn framför. Före det första absolutbeloppet får man tänka sig att det står en faktor +1.

I fall 1 innebär detta att

$$\begin{gathered} -(x+3)-2(x-2)+2(x-1)\le 4 \\ \iff -x-1\le 4 \\ \iff x\ge -5 \end{gathered}$$

så vi får lösningarna $-5\le x\le -3.$

I fall 2 har vi att

$$\begin{gathered} (x+3)-2(x-2)+2(x-1)\le 4 \\ \iff x+5\le 4 \\ \iff x\le -1 \end{gathered}$$

och får lösningarna $-3\le x\le -1.$   EDIT: Har rättat från -3 till -1.

I fall 3 har vi att

$$\begin{gathered} (x+3)-2(x-2)-2(x-1)\le 4 \\ \iff -3x+9\le 4 \\ \iff 3x\ge 5 \\ \iff x\ge \frac{5}{3}=1\frac{2}{3} \end{gathered}$$

och får lösningarna $1\frac{2}{3}\le x\le 2.$

I fall 4 har vi att

$$\begin{gathered} (x+3)+2(x-2)-2(x-1)\le 4 \\ \iff x+1\le 4 \\ \iff x\le 3 \end{gathered}$$ EDIT: Har rättat tredje termen på första raden från x-2 till x-1.

och får lösningarna $2\le x\le 3.$

Olikheten är alltså sann när $-5\le x\le -1$ och när$1\frac{2}{3}\le x\le 3.$

Hej!

Du kan skriva de fyra fallen såhär.

Fall 1: Alla tal $x$ som uppfyller $-\infty <><>$, exempelvis $x=-4$. För detta x-värde är $|x+3| = |-1|$ och $|x-2| = |-6|$ och $|x-1| = |-5|$ vilket indikerar att olikheten är

    $-(x+3) + 2\cdot(-(x-2)) - 2\cdot(-(x-1)) \leq 4 \iff -x\leq 5\iff x\geq -5.$

Olikheten är alltså uppfylld av alla tal $x$ som uppfyller $-5\leq x <>$

Fall 2: Alla tal $x$ som uppfyller $-3\leq x <>$ exempelvis $x=0$. För detta x-värde är ... vilket indikerar att olikheten är ...  . Olikheten är uppfylld av alla tal $x$ som uppfyller ... 

Fall 3: Alla tal $x$ som uppfyller $1\leq x <>$ exempelvis $x=1.5$. För detta x-värde är ... vilket indikerar att olikheten är ...  . Olikheten är uppfylld av alla tal $x$ som uppfyller ... 

Fall 4: Alla tal $x$ som uppfyller $2\leq x<>$ exempelvis $x=3$. För detta x-värde är ... vilket indikerar att olikheten är ...  . Olikheten är uppfylld av alla tal $x$som uppfyller ...  

Lisa Mårtensson skrev:

Vidare har jag räknat som följer för att lösa denna uppgift.

Jag löser ut olikheterna för de fyra olika fallen genom att titta på om det som står inom absolutbeloppstecknet är positivt eller negativt för det givna intervallet. Om det som står inom absolutbeloppstecknet blir negativt byter jag tecken på faktorn framför. Före det första absolutbeloppet får man tänka sig att det står en faktor +1.

I fall 1 innebär detta att

$$\begin{gathered} -(x+3)-2(x-2)+2(x-1)\le 4 \\ \iff -x-1\le 4 \\ \iff x\ge -5 \end{gathered}$$

så vi får lösningarna $-5\le x\le -3.$

Det här är rätt.

I fall 2 har vi att

$$\begin{gathered} (x+3)-2(x-2)+2(x-1)\le 4 \\ \iff x+5\le 4 \\ \iff x\le -1 \end{gathered}$$

och får lösningarna $-3\le x\le -3.$

Här har du skrivit fel övre gräns, det ska vara $-3\leq x\leq -1$

I fall 3 har vi att

$$\begin{gathered} (x+3)-2(x-2)-2(x-1)\le 4 \\ \iff -3x+9\le 4 \\ \iff 3x\ge 5 \\ \iff x\ge \frac{5}{3}=1\frac{2}{3} \end{gathered}$$

och får lösningarna $1\frac{2}{3}\le x\le 2.$

Det här är rätt.

I fall 4 har vi att

$$\begin{gathered} (x+3)+2(x-2)-2(x-2)\le 4 \\ \iff x+1\le 4 \\ \iff x\le 3 \end{gathered}$$

och får lösningarna $2\le x\le 3.$

Här har du råkat skriva $2(x-2)$ istället för $2(x-1)$ på olikhetens tredje term.

Olikheten är alltså sann när $-5\le x\le -1$ och när$1\frac{2}{3}\le x\le 3.$

Hej Lisa.

Du tänker rätt men har råkat skriva lite fel på ett par del ställen, se kommentarer ovan.

Sen tycker jag att det är snyggare att låta intervallen vara disjunkta, dvs att ersätta vissa olikheter med strikta olikheter så att "brytpunkterna" endast tillhör ett intervall.

Jag skulle definiera intervallen så här:

1. $x<>$
2. $-3\leq x<>$
3. $1\leq x<>$
4. $x\geq 2$

Tack så mycket för hjälp kring hur jag ska tänka om intervallen. Både Albiki och Yngve, det var mycket klokt.

Ber om ursäkt för slarvfelen som Yngve upptäckte, jättebra att få bekräftelse på vad som är rätt också!