Vilka vektorer är linjärkombinationer?

Jag sitter med en uppgift som lyder:

"Avgör för vektorerna u=(-1,3-2), v=(3,0,1), w=(2,-6,-4), vilka av dem som är en linjärkombination av de övriga två."

Spontant kan jag se att v inte går att skriva som en linjärkombination av de andra två p.g.a. nollan i det andra elementet.
Med lite eftertanke så kan jag även se att u respektive w går att skriva som en linjärkombination.
Jag vill visa detta mer strikt.

Jag gav mig på att visa detta i ett ekvationssystem, där jag kollar om vektorerna är linjärt oberoende. Jag har lite svårt att dra en slutsats ur mitt resultat.

$λ_{1} u + λ_{2} v + λ_{3} w = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} - λ_{1} + 3 λ_{2} + 2 λ_{3} = 0 \\ 3 λ_{1} + 0 - 6 λ_{3} = 0 \\ 2 λ_{1} + λ_{2} - 4 λ_{3} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 λ_{2} + - λ_{1} + 2 λ_{3} = 0 (a) \\ 0 + 3 λ_{1} - 6 λ_{3} = 0 (b) \\ λ_{2} + 2 λ_{1} - 4 λ_{3} = 0 (c) \end{cases} \{\begin{cases} 3 λ_{2} + - λ_{1} + 2 λ_{3} = 0 (a') = (a) \\ 9 λ_{2} = 0 (b') = (b) + 3 (a) \\ 7 λ_{2} = 0 (c') = (c) + 2 (a) \end{cases} \{\begin{cases} λ_{1} = t \\ λ_{2} = 0 \\ λ_{3} = \frac{1}{2} t \end{cases}$

Jag har svårt att se slutsatsen jag ska dra från detta resultat. Jag ser att kolonnen med $λ_{2}$ är en pivåkolonn. I detta fallet
den enda, så det är den enda kolonnen som kan vara linjärt oberoende. Men jag vet inte riktigt hur jag ska koppla detta till linjärkombinationer?

Aedrha skrev:
Spontant kan jag se att v inte går att skriva som en linjärkombination av de andra två p.g.a. nollan i det andra elementet.

Smart tanke att kolla efter nollor först, men ditt påstående stämmer inte. 2u+w ger ju en nolla i andra koordinaten.

Det du vill komma fram till är om 0-vektorn kan skrivas som en linjärkombination av u, v och w på något annat vis än det triviala. Är så fallet finns det vektorer som är linjärkombinationer av de övriga.

Du kom fram till att linjärkombinationen

$λ_{1} * u + λ_{2} * v + λ_{3} * w = 0$

hade en icke trivial lösning då $λ_{1}$ och $λ_{3}$ var nollskilda. Detta tyder på att u och w kan skrivas som kombinationer av varandra, eftersom:

$λ_{1} * u = - λ_{3} * w$

Pröva att stoppa in ett nollskilt värde på t i ekvationerna för lambdavärdena och stoppa in i ekvationen ovan och se vad som händer. Blir högerledet samma som vänsterledet?

Lite märklig fråga. Om en tredje vektor kan skrivas som en linjärkombination av två andra så kan den andra skrivas som en linjärkombination av den första och den tredje, etc.

I det här fallet är dock u, v och w linjärt oberoende.

En vanlig förvirring/petsak (som jag bar på tills ganska nyligen) är att linjärt oberoende alltid sägs om en mängd vektorer, inte mellan några vektorer och en annan, det kan du lägga på minnet.

Svara

Visa senaste svar