Vilka värden på m är z^m ett reelt tal

Fråga: För vilka värden på m gäller att "$z^m$" är ett reelt tal om $z=\frac{3}{2}\left(\cos \right(\frac{4\mathrm{\pi }}{3})+i\times \sin (\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\left)\right)$

Min tankegång: Om Z ska vara ett reelt tal måste den imaginära delen vara = 0. Enligt de Moivres formel kan man skriva 

$z^m$ som $r^m\left(\cos \right(vm) + i\times \sin (vm\left)\right)$. För att den imaginära delen ska vara lika med noll så ska $\sin \left(\frac{4\mathrm{\pi m}}{3}\right) =0$

$\sin \left(\frac{4\mathrm{\pi m}}{3}\right)=0 =>\frac{4\mathrm{\pi m}}{3}=0+2\mathrm{\pi n} och \frac{4\mathrm{\pi m}}{3}=\mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi n}$

$$\begin{gathered} \frac{4\mathrm{\pi m}}{3}=2\mathrm{\pi n}=>\mathrm{m}=\frac{6\mathrm{n}}{4}=>\mathrm{m}=\frac{3\mathrm{n}}{2} \\ \mathrm{och} \frac{4\mathrm{\pi m}}{3}=\mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi n}=>\mathrm{m}=\frac{3}{4}+\frac{3\mathrm{n}}{2} \end{gathered}$$

Men detta är fel då facit säger att rätt svar är 3n där n är ett positivt heltal.

Vad gör jag fel?