Vilka punktmängder utgör grafen till en funktion?

Sesame skrev :

Jag förstår inte alls hur jag ska lösa den här typen av problem. 

Frågan är "Vilka av följande mängder av punkter (x,y) utgör grafen till en funktion y=f(x)? Varför?

(a) Alla par (x,y) av reella tal som uppfyller x+y=1.

En funktion y=f(x) borde i det här fallet kunna skrivas på formen f(x)=1-x.

Ska jag sedan tänka på vilka kriterier f(x) måste uppfylla för att kunna klassificeras som en funktion? 

Såvitt jag förstår måste en funktion matcha varje element i definitionsmängden X med ett och endast ett element i värdemängden. Det vill säga om det fanns ett element a i definitionsmängden som träffade två (eller fler) element i värdemängden så skulle f(x) inte vara någon funktion. Men 1-x för alla reella värden av x kommer att ha en unik framställning och därför kvalificeras f(x) som en funktion? Resonerar jag på rätt sätt?

Ja det stämmer.

(b) Alla par (x,y) av reella tal som uppfyller x^2+y^2=1.

Hjälp mig först att lista ut hur den här funktionen ska skrivas som f(x)... Jag försöker isolera y.

1) x^2+y^2=1.

2) y^2=1-x^2. 

3) I det här steget tar jag roten ur både högerled och vänsterled? Och får då 

y = 1-x, som i det förra fallet? Nej, det här kan inte stämma... Hjälp uppskattas!

Nästan rätt. Det blir $y=\pm \sqrt{1-x^2}$

Om du nu väljer ett x i definitionsmängden, säg x = 1/2, vilket/vilka värden på y får du då?

Ett annat sätt att snabbt se svaret är att känna igen att punktmängden som sambandet $x^2+y^2=1$ beskriver utgör en cirkel med centrum i origo och radie 1. Hur är det då med de vertikala linjerna inom definitionsmängden $0\leq x\leq 1$, skär de punktmängden på endast ett ställe?

(c) Alla par (x,y) av reella tal som uppfyller x^2+y^2=1.

Det här var samma som (b).

Yngve skrev :

Nästan rätt. Det blir $y=\pm \sqrt{1-x^2}$

Om du nu väljer ett x i definitionsmängden, säg x = 1/2, vilket/vilka värden på y får du då?

Tack så mycket! Jag svarar med en tanke per inlägg i tråden. Nu suger ju min algebra tydligen, men jag försöker besvara din fråga för att se vart den leder. Om x = 1/2 så får åtminstone jag det till att svaret blir en negativ eller positiv 1/2. Då är det ingen funktion eftersom ett värde på x ger två olika möjligheter för f(x). 

Men är svaret verkligen en positiv eller negativ 1/2? När jag kontrollerade med miniräknaren verkade det fel :( 

Yngve skrev :

Nästan rätt. Det blir $y=\pm \sqrt{1-x^2}$

Så misstaget jag begick var att ta bort rottecknet även för högerledet när jag skrev att y = 1-x... När rottecknet står kvar i högerledet är det uppenbart att högerledet kan vara såväl positivt som negativt och ge samma y och att f(x) därför inte kan vara någon riktig funktion. 

MEN jag skulle behöva få den algebraiska intuition som liksom visar mig att det är FEL att ta bort rottecknet i högerledet. Jag kunde ta bort det i vänsterledet eftersom y stod ensamt där, men måste behålla det i högerledet på grund av 1:an, stämmer det? Men roten ur 1 är ju 1, det var därför jag tänkte att jag lika gärna kunde ta bort rottecknet ur högerledet på en gång också...

Yngve skrev : 

Ett annat sätt att snabbt se svaret är att känna igen att punktmängden som sambandet x2+y2=1 x^2+y^2=1 beskriver utgör en cirkel med centrum i origo och radie 1. Hur är det då med de vertikala linjerna inom definitionsmängden 0≤x≤1 0\leq x\leq 1 , skär de punktmängden på endast ett ställe?

Smart, det finns ju hur många linjer som helst som skär en cirkel fler än en gång och därför rör det sig inte om någon funktion! 

Nytt försök: 

(c) Alla par (x,y) som uppfyller x-y^2=0. Om man förenklar blir det x=y^2. Och då kan olika element i definitionsmängden matchas med samma element i värdemängden (t.ex -1 och 1 i definitionsmängden matchas med samma element i värdemängden) och därför är (c) ingen funktion! 

Hoppas jag tänkte rätt nu...

Sesame skrev :

Nytt försök: 

(c) Alla par (x,y) som uppfyller x-y^2=0. Om man förenklar blir det x=y^2. Och då kan olika element i definitionsmängden matchas med samma element i värdemängden (t.ex -1 och 1 i definitionsmängden matchas med samma element i värdemängden) och därför är (c) ingen funktion! 

Hoppas jag tänkte rätt nu...

Rätt svar men resonemanget stämmer inte.

$x-y^2=0$ kan skrivas som $y=\pm \sqrt{x}$. Om både x och y ska vara reella tal så gäller att definitionsmängden är alla $x\geq 0$ eftersom negativa värden på x inte ger reella tal y.

Så x = -1 tillhör inte definitionsmängden.

Och jag tror att du blandar ihop definitions- och värdemängd nu. För att det ska vara en funktion så får varje element i definitionsmängden paras ihop med som mest ett element i värdemängden,

Dvs om du väljer ett värde på x så får det ge som mest ett värde på y.

Eftersom till exempel x = 4 i ditt fall avbildas på både y = 2 och y = -2 så är det inte någon funktion.

Här är punktmängden utritad i rött och den vertikala linjen x = 4 skär punktmängden på två ställen.

Sesame skrev :

Yngve skrev:

Visa föregående citat

Smart, det finns ju hur många linjer som helst som skär en cirkel fler än en gång och därför rör det sig inte om någon funktion! 

Ja men det är bara de vertikala linjerna som är intressanta här.

Sesame skrev :

Yngve skrev :

Nästan rätt. Det blir $y=\pm \sqrt{1-x^2}$

Om du nu väljer ett x i definitionsmängden, säg x = 1/2, vilket/vilka värden på y får du då?

Tack så mycket! Jag svarar med en tanke per inlägg i tråden. Nu suger ju min algebra tydligen, men jag försöker besvara din fråga för att se vart den leder. Om x = 1/2 så får åtminstone jag det till att svaret blir en negativ eller positiv 1/2. Då är det ingen funktion eftersom ett värde på x ger två olika möjligheter för f(x). 

Men är svaret verkligen en positiv eller negativ 1/2? När jag kontrollerade med miniräknaren verkade det fel :( 

Om x = 1/2 så är $y=\pm \sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}=\pm \sqrt{1-\frac{1}{4}}=\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$.

Yngve skrev :

Och jag tror att du blandar ihop definitions- och värdemängd nu. För att det ska vara en funktion så får varje element i definitionsmängden paras ihop med som mest ett element i värdemängden,

Dvs om du väljer ett värde på x så får det ge som mest ett värde på y.

Jag misstänker att du har rätt gällande detta. Det är ju väldigt problematiskt att mitt resonemang är fel eftersom det implicerar att jag bara hade tur när jag fick rätt på (b) och (c). 

Därför undrar jag om du skulle kunna förklara lite det resonemang som kurslitteraturen använder för att förklara varför punktmängden som bestäms av cirkelns ekvation inte utgör grafen till någon funktion. Om centrum ligger i origo och radien är 1 så definieras punktmängden till den cirkeln {(x,y) sådana att x^2+y^2=1}. Så långt är jag med. 

Men sedan är skälet de anför till varför den här punktmängden inte utgör grafen till någon funktion formulerad såhär: både punkterna (1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) och (1/sqrt(2), -1/sqrt(2)) finns i mängden. Och därför är cirkeln inte någon ekvation. Jag har två frågor.

1) Det är alltså för att samma värde på x (1/sqrt(2)) ger två olika värden på y som detta inte kan vara någon funktion. En funktion associerar ju varje element i definitionsmängden med ett unikt element i värdemängden, inte med två element i värdemängden. Stämmer det här resonemanget?

2) Hur kom det fram till det här rent algebraiskt? Om jag flyttar runt termerna får jag på sin höjd att y=sqrt(1-x^2), inte att y är lika med 1/sqrt(2)...

Sesame skrev :

Yngve skrev :

Och jag tror att du blandar ihop definitions- och värdemängd nu. För att det ska vara en funktion så får varje element i definitionsmängden paras ihop med som mest ett element i värdemängden,

Dvs om du väljer ett värde på x så får det ge som mest ett värde på y.

Jag misstänker att du har rätt gällande detta. Det är ju väldigt problematiskt att mitt resonemang är fel eftersom det implicerar att jag bara hade tur när jag fick rätt på (b) och (c). 

Därför undrar jag om du skulle kunna förklara lite det resonemang som kurslitteraturen använder för att förklara varför punktmängden som bestäms av cirkelns ekvation inte utgör grafen till någon funktion. Om centrum ligger i origo och radien är 1 så definieras punktmängden till den cirkeln {(x,y) sådana att x^2+y^2=1}. Så långt är jag med. 

Men sedan är skälet de anför till varför den här punktmängden inte utgör grafen till någon funktion formulerad såhär: både punkterna (1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) och (1/sqrt(2), -1/sqrt(2)) finns i mängden. Och därför är cirkeln inte någon ekvation. Jag har två frågor.

1) Det är alltså för att samma värde på x (1/sqrt(2)) ger två olika värden på y som detta inte kan vara någon funktion. En funktion associerar ju varje element i definitionsmängden med ett unikt element i värdemängden, inte med två element i värdemängden. Stämmer det här resonemanget?

Ja det resonemanget stämmer.

2) Hur kom det fram till det här rent algebraiskt? Om jag flyttar runt termerna får jag på sin höjd att y=sqrt(1-x^2), inte att y är lika med 1/sqrt(2)...

Du glömmer plusminus framför roten.

$x^2+y^2=1$

$y^2=1-x^2$

$y=\pm \sqrt{1-x^2}$

Tack för svaret på den första frågan. 

Vad gäller den andra, ursäkta min tröghet, men hur går du från y = plus/minus sqrt(1-x^2) till y = 1/sqrt(2) eller 1/-sqrt(2)?

Sambandet gäller inte generellt, utan bara om $x = \pm \sqrt2$. Sätt in och förenkla.

Tack Smaragdalena! Det var alltså ett godtyckligt val; de hade lika gärna ha använt sig av vilken annan rot som helst...? 

I kurslitteraturen har de valt punkterna

(1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) och

(1/sqrt(2), -1/sqrt(2)) som exempel på två punkter där samma element i definitionsmängden avbildas på två olika element i värdemängden.

I själva verket gäller att alla element i definitionsmängden (förutom x = -1 och x = 1) avbildas på två olika element i värdemängden (pga plusminus i sambandet).

Det tydligaste exemplet kanske är x = 0 som avbildas både på y = -1 och på y = 1.