Vilka funktioner har derivatan

Menar du a)?

Kan du derivera $x^{-3}$?

Menar båda, vart då ? 

Om vi börjar med a)

Derivatan av  $x^{-3}$ är lika med -3*$x^{-4}$enligt deriveringsreglerna

Alltså är primitiva funktionen till $x^{-4}$    lika med  -$\frac{1}{3}$*  $x^{-3}$

Kommer du vidare med detta?

Nej kommer inte vidare. Så exponenten minskas med 1 vid primitiv funktion ? 

Nej, exponenten minskar med 1 vid derivering, så den ökar med 1 vid integrering.

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/integraler/primitiv-funktion

Har lite svårt o förstå när det är division inblandad. Det jag vet är att man flyttar upp nämnaren så den första blir väl 27x * x^-5

$Om primitiva funktionen till 1* x^{-3} är -\frac{1}{3}{x}^{4 }$så vad är primitiva funktionen till 27 * $x^{-3}$?

Det blir väl -27x^4??

Nja, då glömde du väl * - 1/3.

Alltså 1 * $x^{-3}$ har primitiva funktionen  $-\frac{1}{3}*x^{-4}$

då har 27* $x^{-3}$primitiva funktionen $27*(-\frac{1}{3}*x^{-4}) = - \frac{27}{3}*x^{-4} = -9*x^{-4}$

Hur blir det med b uppgiften då? 

a) De vill att du ska hitta den primitiva funktionen av f'(x), med andra ord vilken funktion deriverad blir f'(x).

$f\text{'}\left(x\right) = \frac{27}{x^4}=27x^{-4}$

Hade vi derivirat f'(x) utrycket yttligare hade det blivit

$f\text{'}\text{'}\left(x\right) = 27\times (-4)x^{-4-1} = 27\times (-4)x^{-5}$

Vi flyttar ner -4 och tar -1 på exponenten.

Men nu är det inte detta vi vill, vi vill gå andra hållet. Detta gör att istället för att ta -1 på exponenten måste vi addera ett så här:

g(x)= $27x^{-4+1} = 27x^{-3}$

Om vi deriverar detta uttryck får vi därremot $27\times {(-3x)}^{-3-1} = 27\times (-3)x^{-4}$ vilket inte var vårat orginal uttryck f'(x) eftersom att vi har en extra -3 från att vi flyttar ner -3:an vid deriveringen av g(x), för att fixa detta multiplicerar vi g(x) med $-\frac{1}{3}$vilket tar bort -3 vid deriveringen, detta blir $-\frac{1}{3}27x^{-3} = -9x^{-3}$ . $f\left(x\right) = -9x^{-3}=\frac{-9}{x^3}$ Deriverar vi detta får vi f'(x).

b)

Ett litet tips: $f\text{'}\left(x\right) =\frac{ x^2+3}{x^3} = (x^2+3)x^{-3} = x^{2-3}+3x^{-3} = x^{-1} + 3x^{-3}$