Vilka av A och B är diagonaliserbara? (Matematik/Universitet/Algebra)

En matris är diagonaliserbar om och endast om du kan hitta en bas som består endast av egenvektorer till matrisen.

Hur många linjärt oberoende egenvektorer fick du fram på (a) och (b)?

PATENTERAMERA skrev:
En matris är diagonaliserbar om och endast om du kan hitta en bas som består endast av egenvektorer till matrisen.

Hur många linjärt oberoende egenvektorer fick du fram på (a) och (b)?

I a) så saknar lambda =1 egenvektorer (se bild) medan lambda_23=3(dubbelrot) har en egenvektor och i b) är det två egenvektorer med tillhörande egenvärden (samma som i a)) så jag tänker att matrisen spänner upp 2 egenvektorer medan matris A har bara en en egenvektor vilket inte är tillräckligt?

Om du har ett egenvärde så finns det åtminstone en oberoende egenvektor svarande mot egenvärdet.

Kan du redovisa vilka egenvärden du fick på a) och vilka oberoende egenvektorer som du fick fram för respektive egenvärde.

PATENTERAMERA skrev:
Om du har ett egenvärde så finns det åtminstone en oberoende egenvektor svarande mot egenvärdet.

Kan du redovisa vilka egenvärden du fick på a) och vilka oberoende egenvektorer som du fick fram för respektive egenvärde.

För a) är det egenvektor för första egenvärdet en nollvektor och andra är en nollskild vektor till det andra egenvärdet.

Du måste gjort något slarvfel någonstans, för det verkar som om åtminstone $[\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}]$ är en egenvektor svarande mot egenvärdet 1.

PATENTERAMERA skrev:
Du måste gjort något slarvfel någonstans, för det verkar som om åtminstone $[\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}]$ är en egenvektor svarande mot egenvärdet 1.

Ja det är det för matris B och inte A. Kan kontrollräkna för matris A med egenvärdet 1. Bilden jag visar justnu är för egenvärdet 1 för matris A och inte B

PATENTERAMERA skrev:

Nu fick jag egenvärdet 1 till egenvektor t (2,-1,1)

Bra, då har du tre oberoende egenvektorer till A - dvs en bas. Alltså är A diagonaliserbar.

Hur är det med B? Vilka egenvärden och egenvektorer har du funnit där?

PATENTERAMERA skrev:
Bra, då har du tre oberoende egenvektorer till A - dvs en bas. Alltså är A diagonaliserbar.

Hur är det med B? Vilka egenvärden och egenvektorer har du funnit där?

Men hur kan man motivera att tre oberoende egenvektorer till A utgör en bas och A är diagonaliserbar? i B så hade vi $λ_{1} = 1 m e d e g e n v e k t o r t |\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}| . λ_{23} = 3 m e d e g e n v e k t o r t |\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}| .$

Bara två oberoende egenvektorer - inte tillräckligt för att bilda en bas. Alltså inte diagonaliserbar.

destiny99 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Bra, då har du tre oberoende egenvektorer till A - dvs en bas. Alltså är A diagonaliserbar.

Hur är det med B? Vilka egenvärden och egenvektorer har du funnit där?

Men hur kan man motivera att tre oberoende egenvektorer till A utgör en bas och A är diagonaliserbar? i B så hade vi $λ_{1} = 1 m e d e g e n v e k t o r t |\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}| . λ_{23} = 3 m e d e g e n v e k t o r t |\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}| .$

Tre oberoende vektorer i R³ är alltid en bas, eftersom dim(R³) = 3.

Enligt satsen som jag nämnde så är en matris diagonaliserbar omm det går att finna en bas bestående av endast egenvektorer till matrisen.