Vi vill visa basbyte i linjär algebra

Kolonnerna i $P_{B_3\leftarrow B_1}$ utgörs av koordinaterna for basvektorerna i basen B₁ relativt basen B₃.

$P_{B_3\leftarrow B_1}=\left[\begin{array}{ccc}{\left[{\overrightarrow{b}}_{11}\right]}_{B_3}& \cdots & {\left[{\overrightarrow{b}}_{1n}\right]}_{B_3}\end{array}\right]$.

Här betecknar ${\left[\overrightarrow{x}\right]}_B$ en kolonnmatris med vektorn $\overrightarrow{x}$:s koordinater relativt basen B.

På liknande sätt har vi att 

$P_{B_2\leftarrow B_1}=\left[\begin{array}{ccc}{\left[{\overrightarrow{b}}_{11}\right]}_{B_2}& \cdots & {\left[{\overrightarrow{b}}_{1n}\right]}_{B_2}\end{array}\right]$.

Sedan har vi att att för varje vektor $\overrightarrow{x}$ så gäller det att 

${\left[\overrightarrow{x}\right]}_{B_3}=P_{B_3\leftarrow B_2}{\left[\overrightarrow{x}\right]}_{B_2}$.

Hoppas detta räcker för att du skall komma vidare. Om inte så hojta till.

Tack!

Vill vi nu ta $P_{B_3 <- B_2} * P_{B_2 <- B_1}$och sedan komma fram till att det är lika med P_ B3 <- B1?

Precis. Det blir nästa steg.

Det är bra att känna till att den k:te kolonnen i en matrisprodukt AD är lika med A gånger den k:te kolonnen i matrisen D. Dvs Col_k(AD) = ACol_k(D). Eller om man så vill

AD = A[d₁ … d_n] = [Ad₁ … Ad_n].

Tack. Bildade jag P_B3 <- B2 rätt om jag får att det är detta:

$\left[{\left[b_{11}\right]}_{B_3}.... {\left[b_{1n}\right]}_{B_3}\right]$

Nja, det var ju $P_{B_3\leftarrow B_1}$. Du behöver aldrig skriva ut vad P_B3 <- B2 blir exakt för att lösa problemet.

$P_{B_3\leftarrow B_2}{P}_{B_2\leftarrow B_1}=P_{B_3\leftarrow B_2}\left[\begin{array}{ccc}{\left[{\overrightarrow{b}}_{11}\right]}_{B_2}& \dots & {\left[{\overrightarrow{b}}_{1n}\right]}_{B_2}\end{array}\right]$.

Sedan utnyttjar man vad som sägs i #4 och #2 (sista formeln).