Venndiagram

Nollprocentmattegeni skrev:

Hej! Jag har fastnat helt på den här uppgiften och förstår inte alls hur jag ska tänka för att visa det här med ett venndiagram? 

 

Uppgiften:

3. Visa atta. A$\cap$(B$\cap$C) = (A$\cap$B)$\cap$C
Välj svårighetsgrad genom att visa med exempel eller med Venndiagram.

Ja, du kan antingen skapa 3 mängder A, B och C för att sedan visa att likheten gäller. 
Eller så ritar du venndiagram. 

Om du väljer venndiagram är en bra början: 

Det blåfärgade är $C\cap B$

Målet är då att jämföra de olika (eller lika) likheterna som du får. Alltså ta reda på om det verkligen är sant att $A\cap \left(B\cap C\right)=C\cap \left(A\cap B\right)$

Ok, jag tror dock att jag har lättare att förstå vad jag gör om jag skapar 3 mängder A, B och C men förstår inte riktigt hur jag ska gå vidare då, behöver jag skapa 3 olika mängder för a, b och c frågorna i uppgiften?

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, jag tror dock att jag har lättare att förstå vad jag gör om jag skapar 3 mängder A, B och C men förstår inte riktigt hur jag ska gå vidare då, behöver jag skapa 3 olika mängder för a, b och c frågorna i uppgiften?

Ja, du får visa det med antingen venndiagram eller med exempel som det står.  Ja ett exempel skulle kunna vara: $A={1,2,3}, B={4,5,6},C={2,5,7}$
Jag vet inte vad som är ”svårast” Venndiagram eller enstaka exempel. 

(mina mängdklammrar kom ej med.. {} )

Ok. 

Så om jag väljer de mängderna i a frågan kan jag förklara det såhär sen?

a) Om vi först skapar 3 mängder, A={1,2,3}, B={4,5,6} och C={2,5,7} kan vi sen visa att det stämmer genom att sätta in de i uttrycket: 

A∩(B∩C) = (A∩B)∩C=2(5)=5

Känns inte alls som jag tänker rätt?

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok. 

Så om jag väljer de mängderna i a frågan kan jag förklara det såhär sen?

a) Om vi först skapar 3 mängder, A={1,2,3}, B={4,5,6} och C={2,5,7} kan vi sen visa att det stämmer genom att sätta in de i uttrycket: 

A∩(B∩C) = (A∩B)∩C=2(5)=5

Känns inte alls som jag tänker rätt?

Ja du har dem mängderna sen gör du såhär: 
$$\begin{gathered} A\cap (B\cap C) \\ B\cap C=\left\{5\right\} \\ A\cap \left\{5\right\}=\left\{\varnothing \right\} \\ Nästa: \\ (A\cap B)\cap C \\ A\cap B=\{\varnothing \} \\ C\cap \left\{\varnothing \right\}=\left\{\varnothing \right\} \end{gathered}$$

Båda ger samma svar. Då har vi visat att detta gäller för dessa mängder. Något bevis som bevisar detta för alla mängder vet jag inte hur man skulle göra. Tycker därför venndiagram är bättre.

Ok, kan man göra det med mängdexempel för de två första och sen visa den sista med vendiagram eller måste man göra vendiagram för alla exempel då?

Jag skulle i alla fall rita Venn-diagram för alla, det passar mitt sätt att tänka bättre. Så som uppgiften är formulerad så får man fler poäng med Venn-diagram än med exempel.

Ok. 

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, kan man göra det med mängdexempel för de två första och sen visa den sista med vendiagram eller måste man göra vendiagram för alla exempel då?

Du menar typ: 

1. Exempel
2. Venndiagram
3. Exempel

Eller någon annan liknande kombination? 
Det står att du får välja svårighetsgrad själv så aa kanske det. Men undviker du venndiagram för det känns konstigt och svårt? Jag lovar att det är ganska lätt, lite som att lägga pussel bara. xD 

Om man ska "visa med exempel" är det lättaste att bara låta A=B=C=tomma mängden. Givetvis bevisar detta, precis som andra exempel, ingenting.

Korra skrev:

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, kan man göra det med mängdexempel för de två första och sen visa den sista med vendiagram eller måste man göra vendiagram för alla exempel då?

Du menar typ: 

1. Exempel
2. Venndiagram
3. Exempel

Eller någon annan liknande kombination? 
Det står att du får välja svårighetsgrad själv så aa kanske det. Men undviker du venndiagram för det känns konstigt och svårt? Jag lovar att det är ganska lätt, lite som att lägga pussel bara. xD 

Ok, jo det är nog därför jag undviker det men inser ju samtidigt att jag förmodligen behöver lära mig det ordentligt under kursens gång ändå så kanske lika bra att försöka börja redan nu :). Men om jag ska göra venndiagram för alla 3 exempel behöver jag ändå inte bestämma mängder för A, B och C då eller tänker jag fel då?

parveln skrev:

Om man ska "visa med exempel" är det lättaste att bara låta A=B=C=tomma mängden. Givetvis bevisar detta, precis som andra exempel, ingenting.

Hur menar du då? 

Ett exempel visar ingenting generellt. Det gör däremot Venndiagram. 

Smaragdalena skrev:

Ett exempel visar ingenting generellt. Det gör däremot Venndiagram. 

Ok. 

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, jo det är nog därför jag undviker det men inser ju samtidigt att jag förmodligen behöver lära mig det ordentligt under kursens gång ändå så kanske lika bra att försöka börja redan nu :). Men om jag ska göra venndiagram för alla 3 exempel behöver jag ändå inte bestämma mängder för A, B och C då eller tänker jag fel då?

Du lär dig inte genom att undvika det, var inte rädd. Testa lite och var mottaglig för ny kunskap. 

Rita tre bubblor som jag gjorde och låtsas att alla element i mängderna ingår i dessa mängder. (Element betyder t.ex 1,2,3 i detta fall: $$\begin{gathered} A=\{1,2,3\} \\ \left|A\right|=3 \end{gathered}$$, 3 st element.)

Ok, nu har jag försökt göra ett venndiagram med A, B och C men förstår inte riktigt hur jag ska ändra det för att visa det som efterfrågas i uppgift a, b och c? 

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, nu har jag försökt göra ett venndiagram med A, B och C men förstår inte riktigt hur jag ska ändra det för att visa det som efterfrågas i uppgift a, b och c? 

Nae du ska inte ändra på något, detta handlar om att tolka vad som venndiagrammet visar! Förklara vad du tolkar det du har ritat som? Vad betyder det? Är det bara cirklar och streck för dig?  Gör ett försök. :)

Ok, eftersom alla tre cirklarna överlappar varandra betyder det väl att de har minst ett element gemensamt?

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, eftersom alla tre cirklarna överlappar varandra betyder det väl att de har minst ett element gemensamt?

Ja det skulle man kunna säga. 

Kan du indentifiera $A\cap B$i venndiagrammet ?

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, eftersom alla tre cirklarna överlappar varandra betyder det väl att de har minst ett element gemensamt?

Nja, det kan ju hända att det finns 0 element i något av segmenten.

Smaragdalena skrev:

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, eftersom alla tre cirklarna överlappar varandra betyder det väl att de har minst ett element gemensamt?

Nja, det kan ju hända att det finns 0 element i något av segmenten.

Är deras gemensamma "icke-element" tomma mängden då ? 

Är deras gemensamma "icke-element" tomma mängdenn då ? 

Ja.

Smaragdalena skrev:

Är deras gemensamma "icke-element" tomma mängdenn då ? 

Ja.

Alright, fair enough.

Hej,

Uppgift a)

Välj ett element $x \in A \cap (B \cap C)$; då vet du att $x \in A$ samt $x\in B \cap C.$ Men att $x\in B \cap C$ betyder att $x\in B$ samt $x\in C.$ Du vet nu att $x\in A$ samt $x\in B$ samt $x\in C$ så att då kan du säga att $x\in A \cap B$ samt $x \in C$ vilket leder till  $x\in (A\cap B) \cap C.$

Eftersom elementet $x$ var godtyckligt valt har man nu visat att

    $A\cap (B\cap C) \subseteq (A\cap B) \cap C.$

Gör på samma sätt åt andra hållet, det vill säga välj $x\in (A\cap B)\cap C$ och visa att då kommer $x\in A\cap (B \cap C)$ för att dra slutsatsen att

    $(A\cap B) \cap C \subseteq A\cap (B\cap C).$

Kombinera de två resultaten till det önskade resultatet $(A\cap B)\cap C = A \cap (B \cap C).$

Korra skrev:

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, eftersom alla tre cirklarna överlappar varandra betyder det väl att de har minst ett element gemensamt?

Ja det skulle man kunna säga. 

Kan du indentifiera $A\cap B$i venndiagrammet ?

Tror att det är där cirkel A och B överlappar varandra? 

Smaragdalena skrev:

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, eftersom alla tre cirklarna överlappar varandra betyder det väl att de har minst ett element gemensamt?

Nja, det kan ju hända att det finns 0 element i något av segmenten.

Ok.

Albiki skrev:

Hej,

Uppgift a)

Välj ett element $x \in A \cap (B \cap C)$; då vet du att $x \in A$ samt $x\in B \cap C.$ Men att $x\in B \cap C$ betyder att $x\in B$ samt $x\in C.$ Du vet nu att $x\in A$ samt $x\in B$ samt $x\in C$ så att då kan du säga att $x\in A \cap B$ samt $x \in C$ vilket leder till  $x\in (A\cap B) \cap C.$

Eftersom elementet $x$ var godtyckligt valt har man nu visat att

    $A\cap (B\cap C) \subseteq (A\cap B) \cap C.$

Gör på samma sätt åt andra hållet, det vill säga välj $x\in (A\cap B)\cap C$ och visa att då kommer $x\in A\cap (B \cap C)$ för att dra slutsatsen att

    $(A\cap B) \cap C \subseteq A\cap (B\cap C).$

Kombinera de två resultaten till det önskade resultatet $(A\cap B)\cap C = A \cap (B \cap C).$

 

 

 

 

Ok, tror nästan jag förstår hur du menar men hur visar jag det här i venndiagrammet?

Det berättade Korra om i sitt första inlägg.
Visa vilket område i figuren som motsvarar VL i ekvationen.
Visa sedan att HL motsvarar samma område.
Fram med färgkritorna!  :-)

Nollprocentmattegeni skrev:

Korra skrev:

Visa föregående citat

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, eftersom alla tre cirklarna överlappar varandra betyder det väl att de har minst ett element gemensamt?

Ja det skulle man kunna säga. 

Kan du indentifiera $A\cap B$i venndiagrammet ?

Tror att det är där cirkel A och B överlappar varandra? 

Aa exakt, leta nu efter: 
$B\cap C$

Sedan finner du: 
$$\begin{gathered} A\cap (B\cap C) \\ C\cap (A\cap B) \end{gathered}$$

Och jämför dessa: 

Ok, nu har jag markerat A$\cap$B och B$\cap$C men förstår inte riktigt hur jag ska markera områdena som står inom parentes ändå? 

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, nu har jag markerat A$\cap$B och B$\cap$C men förstår inte riktigt hur jag ska markera områdena som står inom parentes ändå? 

En sak i taget, vi börjar med $A\cap B$Du har identifierat denna mängd med färgen lila. Denna markerade yta är nu sin EGEN mängd. :P Precis som A är en egen mängd. Denna nya mängd som vi har identifierat kallas för $A\cap B$

Nu är nästa steg att hitta gemensamma element för vår nyfunna mängd och mängden C! Alltså med andra ord: $\left(A\cap B\right)\cap \left(C\right)$
Vart är denna mängd i venndiagrammet? 

-----------------------------------------

Gör samma sak för $\left(B\cap C\right)\cap A$ när du är färdig och jämför om båda visar samma mängd i venndiagrammet, om de visar samma mängd ja då har du bevisat att påståendet stämmer! För det innebär då att båda är samma mängd vilket innebär att de är lika. 

Fortsätt att fråga om något känns konstigt.

Måla   A   blått  och B∩C   gult.
Då ska    A∩(B∩C) bli grönt   (om det är vatten färg)
Där har du VL

Samma trick för HL  (i ny ren figur!)

Arktos skrev:

Måla   A   blått  och B∩C   gult.
Då ska    A∩(B∩C) bli grönt   (om det är vatten färg)
Där har du VL

Samma trick för HL  (i ny ren figur!)

Ok, det är dessvärre inte vattenfärg men ska jag ändå måla A blått? B$\cap$C är väl den mängden som redan är rosa?

Korra skrev:

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, nu har jag markerat A$\cap$B och B$\cap$C men förstår inte riktigt hur jag ska markera områdena som står inom parentes ändå? 

En sak i taget, vi börjar med $A\cap B$Du har identifierat denna mängd med färgen lila. Denna markerade yta är nu sin EGEN mängd. :P Precis som A är en egen mängd. Denna nya mängd som vi har identifierat kallas för $A\cap B$

Nu är nästa steg att hitta gemensamma element för vår nyfunna mängd och mängden C! Alltså med andra ord: $\left(A\cap B\right)\cap \left(C\right)$
Vart är denna mängd i venndiagrammet? 

-----------------------------------------

Gör samma sak för $\left(B\cap C\right)\cap A$ när du är färdig och jämför om båda visar samma mängd i venndiagrammet, om de visar samma mängd ja då har du bevisat att påståendet stämmer! För det innebär då att båda är samma mängd vilket innebär att de är lika. 

Fortsätt att fråga om något känns konstigt.

 

 

 

 

 

 

 

Ok, nu tror jag att jag har markerat (A$\cap$B)$\cap$(C)?

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, nu tror jag att jag har markerat (A$\cap$B)$\cap$(C)?

Visa bild

Jag tycker det blå i figuren är       A och  C  och  [icke-B]
Jag tycker det rosa i figuren är       B och  C  och  [icke-A]
Jag tycker det lila i figuren är       A och  B  och  [icke-C]

Korra skrev:

Nollprocentmattegeni skrev:

Ok, nu tror jag att jag har markerat (A$\cap$B)$\cap$(C)?

Visa bild

Bilden finns i inlägget nu :). 

Arktos skrev:

Jag tycker det blå i figuren är       A och  C  och  [icke-B]
Jag tycker det rosa i figuren är       B och  C  och  [icke-A]
Jag tycker det lila i figuren är       A och  B  och  [icke-C]

Ok, så då har jag markerat områdena fel låter det som?

Den lilla "triangeln" i mitten (A och B och C) är varken blå eller rosa eller lila.

Kanske denna tråd kan ge lite tips
https://www.pluggakuten.se/trad/venndiagram-aub/

Arktos skrev:

Den lilla "triangeln" i mitten (A och B och C) är varken blå eller rosa eller lila.

Kanske denna tråd kan ge lite tips
https://www.pluggakuten.se/trad/venndiagram-aub/

Ok, jag kollar på den tråden.