Vektorrum: Avgör om M är ett vektorrum

Testa det tredje villkoret. Finns nollvektorn i mängden?

Haha, du spoilar uppgiften för snabbt PANTENTERAMERA.

Hej Max,

Om $M$ är ett vektorrum så ser det ut som ett plan, eftersom det bestäms av två stycken parametrar ($a$ och $b$).

Varje vektor $v \in M$ kan skrivas som en linjärkombination av tre vektorer.

    $v=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+a\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1\\0\\-5\end{pmatrix}$

Du kan skriva vektorn såhär: a(3,0,1)+b(1,0,-5)+(0,4,0) vilket är ett plan som inte går genom noll.

Det är ett element i kvotrummet till (0,4,0) av R3. Jag passar på att avslöja det eftersom du antagligen kommer lära dig om det i kursen.

Hej Albiki,

Detta gör saker mycket mer klart. Rätta mig gärna om jag har fel nu men då finns det inte något nollelement i mängden ty vilka värden a och b än har så består hela tiden den första vektorn 

$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$.

Finns det något mer stringent sätt att visa att det inte finns något nollelement i mängden än att bara "se det"?

Vart tog konstanten c vägen som nämns i texten? Inte med i vektorn

Hej Aerius,

Den är med i en annan deluppgift, inkluderade bara en av fyra här. 

Aha. Om du vill lösa det mer stringent kan du sätta upp ett ekvationssystem lösa för a och b. Är det möjligt att lösa? Som du redan påpekat så består den konstanta vektorn för alla värden på a, b. Det är det man kommer fram till hur man än gör.

Det är inte lösningen som inte är stringent, det är frågan som är enkel. Den enkla observationen om (0,4,0) räcker. Glöm inte att det i att vara stringent ingår att vara tydlig, lösningen är ju det.

(Om ingen rättar mig om kommentaren om kvotrum antar jag att jag skrev rätt, men jag är fortfarande tveksam om min formulering).

Albiki: får man kalla det så? Jag skulle säga "... en linjärkomb av () och () plus vektorn (0,5,0)". 

Det enklaste är att nollvektorn skulle vara tvungen att ha 0 som sin andrakoordinat.

Några påpekanden:

• Frågan är egentligen snurrig. Så som frågan är formulerad är $M$ enbart en mängd. För att över huvud taget kunna vara ett vektorrum behöver vi specificera en additionsoperation och en skalningsoperation och det har ju frågeställaren inte gjort. Eftersom kardinaliteten för $M$ är $\mathfrak{c}$ finns det inget som hindrar oss från att hitta på helt vansinniga operationer som faktiskt gör detta till ett vektorrum över $\mathbb{R}$.
• Det frågeställaren antagligen avser är huruvida $M$ är ett reellt vektorrum under komponentvis addition och skalning med reella skalärer. Då är svaret nej.
• Det enklaste sättet att motivera detta är nog att konstatera att $M$ inte skulle vara slutet under skalning (eller för den delen addition). Exempelvis gäller $(3,4,1)\in M$, men $2(3,4,1)=(6,8,1)\not\in M$ eftersom $8\neq 4$.
• En alternativ lösning är mycket riktigt att visa att det inte finns någon nollvektor (aka neutralt element under addition). Anta att $(3t+s,4,t-5s)$ är en nollvektor för något val av $s,t\in\mathbb{R}$. Då ska det gälla att $(3t+s,4,t-5s)+(3a+b,4,a-5b)=(3a+b,4,a-5b)$ för alla $a,b\in\mathbb{R}$, men oavsett vilka val av $s,t\in\mathbb{R}$ vi gör så är detta en omöjlighet, eftersom vi får 8 i andra komponenten i VL och 4 i andra komponenten i HL.

Qetsiyah skrev:

Du kan skriva vektorn såhär: a(3,0,1)+b(1,0,-5)+(0,4,0) vilket är ett plan som inte går genom noll.

Det är ett element i kvotrummet till (0,4,0) av R3. Jag passar på att avslöja det eftersom du antagligen kommer lära dig om det i kursen.

Nästan korrekt! Om man vill använda kvotrum för att beskriva vad $M$ är så skulle jag uttrycka det på följande vis.

Bilda mängden

$W=\{\begin{pmatrix}3a+b\\0\\a-5b\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}_\mathbb{R}\{\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-5\end{pmatrix}\}$

(notera att detta faktiskt är ett vektorrum under komponentvis addition och skalning, och mer precist ett underrum till $\mathbb{R}^3$), och bilda sedan kvotrummet $\mathbb{R}^3/W$. 

Då är trådskaparens mängd $M$ lika med ekvivalensklassen $[(0,4,0)]$ (eller $(0,4,0)+W$, som en del föredrar att skriva det).

oggih skrev:

Några påpekanden:

• Frågan är egentligen snurrig. Så som frågan är formulerad är $M$ enbart en mängd. För att över huvud taget kunna vara ett vektorrum behöver vi specificera en additionsoperation och en skalningsoperation och det har ju frågeställaren inte gjort. Eftersom kardinaliteten för $M$ är $\mathfrak{c}$ finns det inget som hindrar oss från att hitta på helt vansinniga operationer som faktiskt gör detta till ett vektorrum över $\mathbb{R}$.

Vad för $\mathfrak{c}$? Visa mig ett exempel på vansinniga operationer!

Eller ännu hellre, visa hur kardinaliteten hänger ihop med och begränsar vår frihet att hitta på additions och skalningsoperation!

Det frågeställaren antagligen avser är huruvida M är ett reellt vektorrum under komponentvis addition och skalning med reella skalärer. Då är svaret nej.

Jag tänkte motpåpeka att detta är rimligt att anta tills jag erinrade mig om att detta var en fortsättningskurs...

Qetsiyah skrev:

Eller ännu hellre, visa hur kardinaliteten hänger ihop med och begränsar vår frihet att hitta på additions och skalningsoperation!

Jag känner att jag kapar tråden lite nu, men låt gå:

• Med $\mathfrak{c}$ menar jag kardinaliteten för ett kontinium, dvs. för $\mathbb{R}$, vilket händelsevis även visar sig vara kardinaliteten för $\mathbb{R}^n$ för vilket $n\in\mathbb{Z}_{>0}$ som helst (de flesta tycker detta är ganska ointuitivt den första gången de hör det).
• Detta innebär att om $M$ är en mängd som råkar ha just kardinaliteten $\mathfrak{c}$ så kan vi alltid hitta en bijektion $\psi\colon M\to \mathbb{R}^n$ (för din favoritdimension $n$).
• Vi kan använda den här bijektionen för att "transportera över" vektorrumsstrukturen från $\mathbb{R}^n$ till $M$ på följande sätt.
  • Additionen: För $x,y\in M$ så sätter vi $x+y:=\psi^{-1}{(\psi(x)+\psi(y))}$ [dvs. vi använder först $\psi$ för att gå över till $\mathbb{R}^n$, utför additionen där, och översätter sedan tillbaka till $M$ med hjälp av $\psi^{-1}$].
  • Skalningen: För $x\in M$ och $\lambda\in\mathbb{R}$ sätter vi $\lambda x:=\psi^{-1}{(\lambda\psi(x))}$.
• Slutsatsen av detta blir att $|M|=\mathfrak{c}$ är ett tillräckligt villkor för att $M$ ska kunna utrustas med strukturen av ett ändligt-dimensionellt reellt vektorrum.
• Det är även ett nödvändigt villkor, eftersom vi ju genom att välja en bas ser att varje sådant vektorrum är isomorft med $\mathbb{R}^n$ för något $n\in\mathbb{Z}_{>0}$ och därmed har kardinaliteten $\mathfrak{c}$.

Genom att välja en konstig bijektion $M\to \mathbb{R}^n$ (om det finns en så finns det automatiskt oändligt många, så det finns gott om knasiga mappningar att välja på) så kan vi få en riktigt jobbig additionsoperation och skalningsoperation på $M$, om man nu skulle vara på det humöret.

I just det här fallet behöver vi dock inte gå över ån efter vatten, eftersom vi redan har en ganska sjyst bijektion $\psi: M\to \mathbb{R}^2$ som ges av $\psi(3a+b,4,a-5b)=(a,b)$ [att detta verkligen är en bijektion följer av att vektorerna (3,0,1) och (1,0,-5) är linjärt oberoende].

Vi kan därmed definiera en additionsoperation och skalningsoperation på $M$ på följande vis [jag använder symbolerna $\boxplus$ och $\boxdot$ för att vi inte ska råka blanda ihop det med den vanliga additionen och skalningen i $\mathbb{R}^3$]:

$\begin{pmatrix}3a+b\\ 4\\ a-5b\end{pmatrix}\boxplus \begin{pmatrix}3a'+b'\\ 4\\ a'-5b'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3(a+a')+(b+b')\\ 4\\ (a+a')-5(b+b')\end{pmatrix}\,,$

$\lambda\boxdot\begin{pmatrix}3a+b\\ 4\\ a-5b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3(\lambda a)+(\lambda b)\\ 4\\ (\lambda a)-5(\lambda b)\end{pmatrix}\,.$

Övning: Vad blir nollvektorn i det reella vektorrummet $(M,\boxplus,\boxdot)$ som erhålls på detta vis?

Max123 skrev:

Hej Albiki,

Detta gör saker mycket mer klart. Rätta mig gärna om jag har fel nu men då finns det inte något nollelement i mängden ty vilka värden a och b än har så består hela tiden den första vektorn 

 

$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\end{array}\right)$.

 

Finns det något mer stringent sätt att visa att det inte finns något nollelement i mängden än att bara "se det"?

En metod är att anta att $0\in M$ och se att detta leder till en motsägelse; att $0\in M$ betyder att det finns $a,b \in \mathbb{R}$ sådana att $0 = 4+0a+0b \iff 0=4.$ 

Så intressant Oggih, det här ska jag ha i åtanke nästa gång någon oförsiktig lärare frågar samma fråga (och bli hatad av alla klasskamrater).

Nolllvektorn är... $(0,4,0)\in M$? Och $\psi (0_M)=0_{\mathbb{R}^2}$?

Får jag fråga hur och varför du kom på det här?