Vektorrotation

Om en vektor (x, y) vrids i positiv led vinkeln θ så hamnar den på (xcos(θ) - ysin(θ), xsin(θ) + ycos(θ)).

Hur kan man bevisa detta?

Du kan t.ex. studera systemet i polära koordinater. Vektorn $(x,y)$ roteras till $(x^',y^')$ enligt

$x=r\cos(\alpha),\quad x^'=r\cos(\alpha+\theta)$

$y=r\sin(\alpha),\quad y^'=r\sin(\alpha+\theta)$

Använd additionsformler för sin- och cosinus.

Enklast är att använda komplexa tal.

Identifiera (x, y) med det komplexa talet z = x + iy. Om du vill rotera z med en vinkel v så kan du göra det genom att multiplicera med e^iv = cosv + isinv - jag antar att detta är känt från gymnasiet.

(x + iy)(cosv + isinv) = xcosv - ysinv + i(xsinv + ycosv), som vi kan identifiera med (xcosv - ysinv, xsinv + ycosv), vilket är det sökta resultatet.

Svara