Vektornotation i integral, hur relatera |r-r0| till x?

R är radien av en riktig biljardkula, den biljardkulan som vi är intresserade av är en kvantbiljardkula där radien beror på kvantosäkerhet. För att kunna räkna ut denna radien har jag fått:

$\overset{⇀}{r} = (x, y)$ , positionen av kulan på ytan av biljardbordet

$\overset{⇀}{r_{0}}$ = ("the position of the centroid") av kulan på biljardbordet.

Kulans placering L = 50 cm ortogonalt från ett av "mittenhålen" på biljardbordet.

Diametern d=57 mm av den verkliga biljardkulan.

$ψ (\overset{⇀}{r}) = e^{- \frac{| \overset{⇀}{r} - \overset{⇀}{r_{0}} |^{2}}{R^{2}}}$

Det jag söker är: $\frac{d ψ}{d x}$ och $\int_{0}^{\infty} e^{- \frac{| \overset{⇀}{r} - \overset{⇀}{r_{0}} |^{2}}{R^{2}}} d x$ för att kunna ta fram ett uttryck för radien.

Jag vet inte hur jag ska relatera $| \overset{⇀}{r} - \overset{⇀}{r_{0}} |^{2}$ till något som går att räkna på. Finns det något snyggt sätt att göra om denna utifrån vad som är givet så att det går att integrera / derivera?

(Allt information given ovan kanske inte är relevant för just denna uppgift då det finns deluppgifter)

Min tolkning av uppgiften och ett egenvalt koordinatsystem:

Du bör ha:

$\vec{r}_0 = \left(x_0,y_0\right)$

Det bör sedan bli:

$\vec{r}-\vec{r}_0=(x-x_0)\hat{i}+(y-y_0)\hat{j}$

Samt:

$|\vec{r}-\vec{r}_0|^2 = (x-x_0)^2+(y-y_0)^2$

Behandla således $y$ , $x_0$ och $y_0$ som konstanter i derivatan och gaussianen. Den senare är lite krånglig men kan lösas med lite trix.

Svara