Vektorgeometri, från ekvationsform till parameterform

Det finns oändligt många parameterformer för ett enskilt plan, men metoden är denna: Hitta två vektorer som ligger i planet. Detta kan du göra genom att hitta två uppsättningar (x,y,z) som uppfyller normalekvationen (i a) att $2x-4y+z=0$). 

Ett klassiskt sätt att göra detta på är att "byta plats" på två av koefficienterna, byta tecken på en av dem, och sätta den tredje variabelns koefficient till noll. Det är svårt att förklara i ord, men för a) skulle det kunna vara: 

x: Vi tar y-variabelns koefficient (i normalekvationen) (-4) och ger till vårt värde på x, och sedan byter vi tecken. $x=4$

y: Vi tar x-variablens koefficient (i normalekvationen) (2) och ger till vårt värde på y. $y=2$

z: z sätter vi till noll. $z=0$. 

Vi har nu en vektor, $(4,2,0)$ som är vinkelrät mot planets normalvektor, och därmed ligger i planet. 

Gör nu samma steg, men sätt exempelvis y till noll. Då får du en vektor till som ligger i planet. :)

Tillägg: 13 mar 2022 16:10

När vi har dessa sätter vi ihop dem på formen $L:\hspace{0.17em}A+\stackrel{\rightharpoonup }{B}·s+\stackrel{\rightharpoonup }{C}·t$ (där A är en punkt, B och C är vektorer, och s och t är parametrar). Punkten A är vilken som helst som ligger i planet. :)

Blir det här rätt?

Hur skulle man sedan göra detta omvänt, alltså om jag har två vektorer som spänner upp planet samt planet i parameterform som ska skrivas i ekvationsform?

Jag kan inte se bilden. Kan du lägga upp den igen (om du fortfarande behöver hjälp)? 

Om du har två vektorer som spänner upp planet, behöver du hitta en vektor som är vinkelrät mot dessa två. Förslagsvis genom att hitta kryssprodukten av de två vektorerna. Sedan sätter du in en punkt P i ekvationen $\stackrel{\rightharpoonup }{n}·\stackrel{\rightharpoonup }{p}=d$, och löser ut d. :)

Smutstvätt skrev:

Det finns oändligt många parameterformer för ett enskilt plan, men metoden är denna: Hitta två vektorer som ligger i planet. Detta kan du göra genom att hitta två uppsättningar (x,y,z) som uppfyller normalekvationen (i a) att $2x-4y+z=0$). 

Ett klassiskt sätt att göra detta på är att "byta plats" på två av koefficienterna, byta tecken på en av dem, och sätta den tredje variabelns koefficient till noll. Det är svårt att förklara i ord, men för a) skulle det kunna vara: 

x: Vi tar y-variabelns koefficient (i normalekvationen) (-4) och ger till vårt värde på x, och sedan byter vi tecken. $x=4$

y: Vi tar x-variablens koefficient (i normalekvationen) (2) och ger till vårt värde på y. $y=2$

z: z sätter vi till noll. $z=0$. 

Vi har nu en vektor, $(4,2,0)$ som är vinkelrät mot planets normalvektor, och därmed ligger i planet. 

Gör nu samma steg, men sätt exempelvis y till noll. Då får du en vektor till som ligger i planet. :)

---

Tillägg: 13 mar 2022 16:10

När vi har dessa sätter vi ihop dem på formen $L:\hspace{0.17em}A+\stackrel{\rightharpoonup }{B}·s+\stackrel{\rightharpoonup }{C}·t$ (där A är en punkt, B och C är vektorer, och s och t är parametrar). Punkten A är vilken som helst som ligger i planet. :)

Har samma problem som mar. och hittade den här tråden, bra förklarat! Men jag förstår inte hur man ska hitta A, dvs en punkt i planet. Har du något tips?  

(Ursäkta det sena svaret)

Välj enkla värden på två variabler, exempelvis $x=0$ och $y=1$. Insättning i (a) ger: 

$$\begin{gathered} 2·0-4·1+z=0 \\ -4+z=0 \\ z=4 \end{gathered}$$

Vi har nu hittat punkten $(0,1,4)$, som ligger i planet. :)