Vektorfält

Om du visar ditt försök så blir det lättare att förstå vilken metod du vill använda.

Asså jag fattade inte vad dy ska vara. Ska man räkna kurvintegralen med avseende på dy?

Du har skrivit att parameterframställningen för en cirkel med radien $a$ är

$x=a\cos(t)$ (eller $x=r\cos(\theta)$ radien $r=a$ och $t=\theta$)

$y=a\sin(t)$ (eller $x=r\cos(\theta)$ radien $r=a$ och $t=\theta$)

Det är samma sak som att säga att parametriseringen (med parametern t)

$\mathbf{r}(t)=(a\cos(t), a\sin(t))= a\cos(t) \hat{i}+a\sin(t)\hat{j}$

Nu kan vi derivera för att hitta $d\mathbf{r}$

$\frac{d}{dt}\left( \mathbf{r}(t)\right)=(-a\sin(t), a\cos(t))=-a\sin(t)\hat{i}+a\cos(t)\hat{j}$

$d\mathbf{r}=\frac{d \mathbf{r}}{dt}dt=(-a\sin(t), a\cos(t))dt$

Fältet får vi från uttrycket $xdy$ som översätts till $(0,x)$ eller med parameterfrstämställningen $x=a\cos(t)$

$F(\mathbf{r}(t))=(0,a\cos(t))$

Alltså blir $F(\mathbf{r}(t))\cdot d\mathbf{r}(t)=(0,a\cos(t))\cdot (-a\sin(t), a\cos(t))dt=a^2\cos(t)dt$

Slutligen får du beräkna

$\displaystyle \int _\gamma F\cdot d\mathbf{r}=\int_0^{2\pi}a^2\cos(t) dt$

TACK !

D4NIEL skrev:

Du har skrivit att parameterframställningen för en cirkel med radien $a$ är

$x=a\cos(t)$ (eller $x=r\cos(\theta)$ radien $r=a$ och $t=\theta$)

$y=a\sin(t)$ (eller $x=r\cos(\theta)$ radien $r=a$ och $t=\theta$)

Det är samma sak som att säga att parametriseringen (med parametern t)

$\mathbf{r}(t)=(a\cos(t), a\sin(t))= a\cos(t) \hat{i}+a\sin(t)\hat{j}$

Nu kan vi derivera för att hitta $d\mathbf{r}$

$\frac{d}{dt}\left( \mathbf{r}(t)\right)=(-a\sin(t), a\cos(t))=-a\sin(t)\hat{i}+a\cos(t)\hat{j}$

$d\mathbf{r}=\frac{d \mathbf{r}}{dt}dt=(-a\sin(t), a\cos(t))dt$

Fältet får vi från uttrycket $xdy$ som översätts till $(0,x)$ eller med parameterfrstämställningen $x=a\cos(t)$

$F(\mathbf{r}(t))=(0,a\cos(t))$

Alltså blir $F(\mathbf{r}(t))\cdot d\mathbf{r}(t)=(0,a\cos(t))\cdot (-a\sin(t), a\cos(t))dt=a^2\cos(t)dt$

Slutligen får du beräkna

$\displaystyle \int _\gamma F\cdot d\mathbf{r}=\int_0^{2\pi}a^2\cos(t) dt$

Jag är lite stressad inter tentan oc kan inte tänka ordentligt. 

Så om jag har förstått rätt uttrycket xdy är fället dvs F?? 

Ja, integranden är $F\cdot d\mathbf{r}=F\cdot (dx,dy)$ Så om du sätter $F=(0,x)$ blir det

$F\cdot d\mathbf{r}=(0,x)\cdot (dx,dy)=xdy$

Jag vill också visa dig ett alternativt sätt att se på saken

Parameterframställningen är

$x=a\cos(t)\quad \iff \quad dx=-a\sin(t)dt$

$y=a\sin(t)\quad \iff \quad dy=a\cos(t)dt$

Alltså är $xdy=\underset{x}{a\cos(t)}\underset{dy}{ a\cos(t)dt} = a^2\cos^2(t)dt$

Aha ok NU blev det tydligare. Tack För hjälpen!

Ytterligare en förenkling:

Det som står framför $dx$ är x-komponenten i $F$

Det som står framför $dy$ är y-komponenten i $F$

Det som står framför $dz$ är z-komponenten i $F$

Så $xdy$ ger $F=(0,x,0)$ eller $F=(0,x)$

Och $F\cdot d\mathbf{r}=(0,x,0)\cdot (dx,dy,dz)=xdy$

D4NIEL skrev:

Ytterligare en förenkling:

Det som står framför $dx$ är x-komponenten i $F$

Det som står framför $dy$ är y-komponenten i $F$

Det som står framför $dz$ är z-komponenten i $F$

 

Så $xdy$ ger $F=(0,x,0)$ eller $F=(0,x)$

Och $F\cdot d\mathbf{r}=(0,x,0)\cdot (dx,dy,dz)=xdy$

Tack tack. Grejen är att jag har blandat och glömt vissa saker från föregående kapitel. Men tack för din förklaring. 

D4NIEL skrev:

Du har skrivit att parameterframställningen för en cirkel med radien $a$ är

$x=a\cos(t)$ (eller $x=r\cos(\theta)$ radien $r=a$ och $t=\theta$)

$y=a\sin(t)$ (eller $x=r\cos(\theta)$ radien $r=a$ och $t=\theta$)

Det är samma sak som att säga att parametriseringen (med parametern t)

$\mathbf{r}(t)=(a\cos(t), a\sin(t))= a\cos(t) \hat{i}+a\sin(t)\hat{j}$

Nu kan vi derivera för att hitta $d\mathbf{r}$

$\frac{d}{dt}\left( \mathbf{r}(t)\right)=(-a\sin(t), a\cos(t))=-a\sin(t)\hat{i}+a\cos(t)\hat{j}$

$d\mathbf{r}=\frac{d \mathbf{r}}{dt}dt=(-a\sin(t), a\cos(t))dt$

Fältet får vi från uttrycket $xdy$ som översätts till $(0,x)$ eller med parameterfrstämställningen $x=a\cos(t)$

$F(\mathbf{r}(t))=(0,a\cos(t))$

Alltså blir $F(\mathbf{r}(t))\cdot d\mathbf{r}(t)=(0,a\cos(t))\cdot (-a\sin(t), a\cos(t))dt=a^2\cos(t)dt$

Slutligen får du beräkna

$\displaystyle \int _\gamma F\cdot d\mathbf{r}=\int_0^{2\pi}a^2\cos(t) dt$

Behövde gå tillbaka och repetera allt innan jag kunde försätta med det här kapitlet :/

Tack för din förklaring men ska det inte vara ${\int }_0^{2pi}{a}^2{\cos }^2\left(t\right)$dt   ? och hur räknar man integralen av cos^2(t) ?

Ska det inte blir noll för vi har en udda funktion och det är en stängd integral.

Löste det =)

Ja, det stämmer såklart. Bra att du klurade ut det!

Här är några fler(?) knep att beräkna integralen, först dubbla vinkeln:

$\cos^2 (t)=\frac{1+\cos(2t)}{2}$

Det finns också en allmän formel när $n$ är jämnt

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\cos^n (t)\,dt=\frac{\pi}{2}\frac{(n-1)!!}{n!!}$

Och när $n$ är udda är

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\cos^n (t)\,dt=\frac{(n-1)!!}{n!!}$

När $n=2$, som är jämnt får vi alltså

$\int_0^{2\pi}\cos^2 (t)\,dt=\displaystyle 4\cdot  \int_0^{\pi/2}\cos^2 (t)\,dt=4\cdot \frac{\pi}{2}\frac{1!!}{2!!}=\pi$

Och hela resultatet blir såklart $\pi a^2$