Vektorer som spänner upp ett plan
Har några vektorer i . Fina raka vektorer . Vad krävs för att dessa ska spänna upp rummet?
I min bok står det att varje i ska vara en linjärkombination av vektorerna.
Lite senare står det att n stycken vektorer i är en bas <-> de är linjärt oberoende <-> de spännner upp .
Men om 2 vektorer kan skrivas som en linj.komb av varandra -> linj.beroende
Å ena sidan är de beroende och å andra sidan är de inte det enligt definitionen i boken. Någon som kan förklara?
Hej!
Du skriver fel när du skriver (v1,v2,v3); denna beteckning betyder att v1, v2 och v3 bildar kolonner i en matris av typ nx3. Istället ska du skriva {v1,v2,v3} vilket betyder en mängd med de tre elementen v1, v2 och v3.
En enskild vektor (w) i rummet kan skrivas w = (w_1, w_2, w_3) (vilket är en matris av typ 3x1) där komponenterna w_1, w_2 och w_3 är reella tal.
Albiki
Hej!
Angående spänna upp: se mitt svar i en anna av dina trådar.
Albiki
De tre vektorerna skall vara linjärt oberoende av _varandra_ för att spänna upp R3. Dvs du kan inte skriva v3 som en linjärkombination av v1 och v2.
Men alla vektorer i R3 kan skrivas som en linjärkombination av de tre vektorerna om de spänner upp R3.
Albiki skrev :Du skriver fel när du skriver (v1,v2,v3)
Ok, man får mao. inte skriva vektorerna: (v1,v2,v3). Jag har inte börjat med matriser än.
Problemet kvarstår, spänna upp betyder att v1,v2,v3 måsta vara en linjärkombination av y. Alltså
av_1 + bv_2 + cv_3 = y
Vektorerna måste med andra ord vara linjärt beroende. Ellerhur?
I en definition på nästa sida i boken står det att ordagrant:
Bassatsen:
n stycken vektorer i R^n är en bas <-> de är linjärt Oberoende <-> de spännner upp R^n.
Om vi utgår från det sista ledet i satsen så vet vi sedan tidigare att v1,v2,v3 spänner upp R^3 och därför måste det vara ekvivalent med att de är linjärt oberoende enligt satsen ovan.
Men enligt definition för "spänna upp" ska y vara linjärkombination av v1,v2,v3 -> vektorerna är linjärt beroende
linjärt oberoende =/= linjärt beroende
Försåt ni vad jag har problem med?
SvanteR skrev :linjärt oberoende av _varandra_
okayyyyyyyy!
Förstår det nästan nu.
Ska vektorerna som spänner upp planet också vara linjärt oberoende av varandra?
Vektorerna som bildar bas ska vara linjärt oberoende, är de det och samtidigt precis rätt antal (i R^3 ska det vara 3 stycken) så bildar de bas, och om de bildar bas kan man skriva alla vektorer i hela rummet som en linjärkombination av dessa tre.
Ja. Det blir lättast att förstå i planet, för där är det lätt att rita och göra sig en egen bild.
Om du har två vektorer v1 och v2 i planet och de _inte_ är linjärt oberoende så ligger de ju på samma linje. Därför kan du inte använda de två vektorerna till en "vägbeskrivning" till en punkt utanför den linjen. Om du säger "ta två steg i v1:s riktning och tre steg i v2:s riktning" så kommer du ändå bara till en punkt på linjen.
Om v1 och v2 däremot _är_ linjärt oberoende så ligger de _inte_ på samma linje, och då kan du _alltid_ använda dem till en "vägbeskrivning" för att nå alla punkter i planet.
("vägbeskrivning" = linjärkombination)
