Vektorer (räta linjen på parameterform
Jag försöker förstå hur det här med vektorer och räta linjen i parameterform innebär. Jag förstår inte vad detta går ut på.... Jag har ett exempel där jag vet en vektor (3,1) samt en punkt (2,5) och sedan ska jag kolla om punkt A=(-1, 4) och B = (8,9) ligger på linjen. Jag har gjort ett ekvationssystem och beräknat ekvationerna för båda och får slutresultatet s= -1 på punkt A och s = 2s på punkt B. Varför punkt A är på linjen, är det för att det är exakt -1 i koordinaten (-1, 4) eller är det för att variabeln s är själv? I punkt B blir det ju 2s och är det därför man inte kan säga att den ligger på linjen eller är det för att det inte finns någon 2:a i koordinaten (8,9). Det låter jätterörigt, men förstår ni vad jag menar?
x=2 + 3s
y=5 + s
Du har en punkt på linjen x = 2, y = 5. Därifrån går du s steg i riktning (3, 1).
Frågan är om x = 2 + 3s = –1 och y = 5+s = 4 är uppfyllt för något s.
Den första ekv ger s = –1 och det stämmer för den andra. Svar ja.
På samma sätt, finns det något s så att 2+3s = 8 och 5+s = 9 ?
Den första ekv ger s = 2 den andra s = 4. Svar nej.
Nej, det blev ju 2s och den fanns ju inte bland koordinaterna. Är det så jag ska tänka alltså? Nu räknade jag ju bara ut x och fick -1. Ska man räkna ut y också? Då blir det ju 4/5 och vad ger det? Ska man bara bry sig om x-koordinaten?
Koordinaterna (x, y) styrs av s.
Du väljer ett värde s. Det värdet ger både x och y.
Om du ska få x = 8 så MÅSTE du ha s = 2. Men s = 2 ger inte y = 9, så (8, 9) kan inget s-värde ge. Alltså ligger (8, 9) inte på linjen.
En krångligare metod är att lösa ut s ur systemet
x = 2+3s
y = 5+s
Det ger s = (x–2)/3 = y–5, dvs
3y = x+13
Här ser man att (–1, 4) ligger på linjen och att (8. 9) inte gör det. Onödigt krångligt kanske, men helt korrekt.
(s kallas parameter, bestämmer linjen men är inte med bland koordinaterna.)
Jaha! Ok när jag stoppar in värdet -1 i y, så blir det ju 4! Ok, tack då tror jag att jag förstår!
Kan du hjälpa mig med nästa uppgift?
Jag ska ange skärningspunkterna och koordinataxlarna mellan linjen i ekvationssystemet:
x=6-t
y=4+2t
Hur går jag tillväga då? Jag tänkte först att jag skulle gå baklänges för att hitta vektorn. Tänker jag rätt då? Kan den vara (-1, 2)?
Jag ska ange skärningspunkterna och koordinataxlarna mellan linjen i ekvationssystemet:
Nej, detta betyder inget. Formulera noggrannare
Frågan är: Ange skärningspunkterna mellan linjen i: (det är en klammer till vänster om x och y)
x=6-t
y=4+2t
och koordinataxlarna.
Sorry, blev upptagen.
När linjen skär x-axeln är y = 0
0 = 4–2t ger t = 2 som ger x = 6–2 = 4
Linjen skär x-axeln i (4, 0)
Samma metod för när linjen skär y-axeln.
Det är det där jag inte förstår! Jag räknade ut att t=2 (tog 6-t=4+2t) och när jag satte i 2 istället för t i x=6-t, så fick jag att x-värdet blev 4. Kan jag inte stoppa in 2 i Y-värdet också? Då blir y=8... Det är fel när jag ser i facit...
Ekvationen 6–t = 4+2t skriver du.
1) lösningen är inte t = 2 utan t = 2/3
2) Detta t-värde är ointressant för uppgiften. Det ger x = y = 16/3, dvs var linjens x- och y-koordinater är samma. Frågan är för vilket x som y är noll och för vilket y som x är noll.
Jag ritar en bild. Återkommer.
Just det. Sorry, det blir 2/3 förstås... Men själva skärningspunkten är väl en egen koordinat där linjerna skär varandra?
Se det som fotstegen i snön av en som promenerar längs linjen y = –2x+16
Vid tiden t = –2 passerar hen x-axeln (8, 0), vid tiden t = 6 passeras y-axeln (0, 16).
Det är svaret på frågan när linjen passerar axlarna.
Om vi vill ha litet spänning kan vi säga att mordet begicks i (2, 12) Då vet vi att tidpunkten för mordet är t = 4, ovärderligt för detektiven. Men har vi bara y = –2x+16 så ser vi bara spåren i snön, vi har ingen information om tiden.
Så parameterformen där man lägger in en parameter t, kan vara värdefull när vi vill beskriva hur en partikel rör sig. Tänk dig att vi byter t mot 2s. Det ger
x = 6–2s
y = 4+4s
Det blir precis samma linje, men beskriver en partikel som rör sig dubbelt så fort. Byter du t mot –s så går den åt andra hållet. Byter du t mot s2 så rör sig partikeln snabbare och snabbare. Och byter du t mot s+1 så rör den sig precis som den första partikeln, men ligger en tidsenhet efter.
Det tar litet tid att vänja sig vid linjer givna på parameterform, jag hade också svårt med det i början.
Alltså du är bäst! Nu förstår jag syftet med detta! Fattade inte vad man ska med det här till.... Den där värdetabellen och grafen var ju toppen! Ska spara din mordhistoria till kommande uppgift att ge blivande matteelever i högstadiet :-) Tack och godnatt!
Tack för vackra ord, man blir glad när en förklaring går hem! Du kan hitta mer dramatik i detta, säg att fartygen A och B rör sig på oceanen längs linjerna
A: x = 2,6+12t; y = 6+5t
B: x = 5,4+3t; y = 7,8–4t
Kommer de att kollidera?
(Och bonusfråga: Fartyg B går med 8 knop, hur fort går fartyg A?)
Haha! Ok 😅
Eftersom du verkar sikta mot lärarutbildning, kan jag lägga till litet mer. Om du inte hunnit hit i kurserna kan du klicka på spara…
En cirkel med centrum i origo och radie 1 skrivs vanligen på formen
x2+y2 = 1
Men även den kan skrivas på parameterform:
x = cos t
y = sin t
Om du deriverar får du
dx/dt = –sin t, dy/dt = cos t
där (–sin t, cos t) är riktningen för tangenten.
Oj, ok tack! Förstod inte så mycket nu, men jag sparar dina tips. Tack så jättemycket!!!
