Vektorer: Kontrollera min logik

I en tetraeder sammabinder man mittpunkterna på motstående kantlinjer. Visa att dessa skär varandra i tyngdpunkten.

Min tolkning är att vi har en tetraeder ABCD där jag ska visa att vektorn mellan mittpunkten på AB och mittpunkten på CD går genom M (tyngdpunkten), likaså gör de andra två paren av motstående mittpunkter.

I tidigare uppgifter har punkten O använts; en godtycklig men fix punkt i rummet. Jag använder den här också.

$$\begin{gathered} \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O{M}_{AB}}+\overrightarrow{M_{AB}M} \\ \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\overrightarrow{M_{AB}}M \\ \overrightarrow{M_{AB}M}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}) \end{gathered}$$

På samma sätt:

$\overrightarrow{M_{CD}M}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD})$

Vi byter riktning på vektorn:

$\overrightarrow{M{M}_{CD}}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})$

Och, här anser jag mig ha löst uppgiften, därför att exakt samma vektor som går från mitten på AB till M, går från M till mitten på CD. Eftersom storleken är densamma ligger M mitt på vektorn $\overrightarrow{M_{AB}{M}_{CD}}$. Samma sak kommer hända med resterande två vektorer. Håller den här logiken?