Vektorer, basbyte

Låt $e_{1}, e_{2}$ vara en bas i planet. Vektorerna $ê_{1}$ och $ê_{2}$ ges av

$\{\begin{cases} ê_{1} = - e_{1} + 2 e_{2} \\ ê_{2} = 3 e_{1} + 4 e_{2} \end{cases}$

Visa att $ê_{1}, ê_{2}$ också är en bas i planet.

Här tänker jag att om $ê_{1}, ê_{2}$ ska vara en bas så måste $ê_{1}$ och $ê_{2}$ vara linjärt oberoende. Men, hur visar jag det? Om jag t.ex. ställer upp

$x (- e_{1} + 2 e_{2}) + y (3 e_{1} + 4 e_{2}) = 0$

så får jag ett alltför underbestämt ekvationssystem. Den enda extrainformation jag har att tillgå är att eftersom $e_{1}, e_{2}$ är en bas så finns det inga koefficienter $x, y$ som tillfredställer $x e_{1} + y e_{2} = 0$ .

Din uppställda ekvation ser bra ut. Fortsätt att utveckla den.

-xe1+2xe2+3ye1+4ye2 = 0

(-x+3y)e1 + (2x+4y)e2 = 0

Eftersom e1 och e2 bildar en bas så måste

-x+3y = 0 och

2x+4y =0

Detta system går att lösa och har den unika lösningen (x, y) = (0,0)

Svara