Vektorer

Vi söker en linje $l_0=P_0+t\vec{v}$, som ska skära två andra linjer. För att fullständigt kunna beskriva vår sökta linje behöver vi veta en punkt på linjen och en riktningsvektor.

En punkt, $P_0=(1,-1,-1)$ på linjen är redan given, det enda som behövs är alltså en riktningsvektor $\vec{v}$.

Det kan verka lite krångligt att bestämma vektorn som har tre okända komponenter. Men om vi tänker oss att den okända linjen tillsammans med $l_1$ definierar ett plan vet vi att vektorn $\vec{v}$ ska vara parallell med planet. Vi förstår också att vi fullständigt kan bestämma planet (dess normal och ekvation) eftersom vi har två kända punkter och en vektor i planet från linje $l_1$.

I det här steget är det viktigt att göra en skiss av planet för att verkligen förstå vad som händer.

Slutligen kan vi trivialt bestämma skärningspunkten $Q$ mellan det framtagna planet och linje $l_2$. Med denna skärningspunkt och punkten på linjen $P_0$ ges den sökta vektorn av $\vec{v}=P_0-Q$

Börja med att skapa ett plan baserat på L1 och P. Hela L1 ska ligga i planet. Vad som behövs är 2 riktningar (r1 och r2) och en punkt i planet.

L1 = t(1,-2,1)+(0,0,2)

r1=(1,-2,1)

r2= P - (0,0,2) = (1,-1,-1) - (0,0,2) =  (1,-1,-3)

Planet

(x1,x2,x3)= p(1,-2,1) + q(1,-1,-3) + (0,0,2)

Beräkna sedan skärningspunkten Z mellan L2 och planet. Skapa en ny riktning G = Z-P . L3 = sG+P är sedan linjen vi söker.  Att L3 skär L2 och P vet vi eftersom G beräknades mha P samt en känd punkt på L2. Att sedan L3 även skär L1 vet vi eftersom L3 och L1 ligger i samma plan. Det är omöjligt för 2 linjer i samma plan att INTE skära varandra om de inte är parallella. Vill man övertyga sig själv kan du bara beräkna vad skärningarna L1-L3 och L2-L3 är.

Det här med att skapa ett plan som hjälper en med lösningen är nog inget man kommer på i första hand. Se det mer som ett lösningsexempel.

Det går även att lösa uppgiften utan att skapa ett plan, men det är mer algebra.

Tack så mycket!