Vektorer

Hej!

1. Tror att du fattat rätt, två nollskilda vektorer är oberoende av varandra om och endast om den ena är en multipel av den andra. 

Jag tror att du svarar "u,v" om du tänker att u och v är oberoende, "u,w" om u och w oberoende o.s.v. 

2. På denna fråga finns en mängd olika sätt att göra. Vet du vad det innebär att tre vektorer är oberoende?

1. Toppen, om detta stämmer borde alla vara oberoende av varandra? Alltså borde jag kunna svara u,v , v,w och w,u och alla bör vara rätt?

2. Om jag förstår det rätt innebär det att de inte går att skriva någon linjärkombination av dom utöver den när samtliga faktorer är noll?

1. Ja det ser så ut, att u,v och w är parvis oberoende. 

2. ja typ: mer explicit om det finns en linjärkombination av tre vektorer v_1, v_2 och v_3 som blir 0 så måste alla motsvarande koefficienter vara 0. I formler blir det: a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3  = 0 medför att a_1=a_2=a_3 =0. 

Rent geometriskt betyder det att de tre vektorerna inte ligger i samma plan. Vektorerna u och v från uppgift 1 är ej parallella. Detta betyder att dessa spänner upp ett plan i R^3 (rummet). Du ska alltså finna en tredje vektor Z som inte ligger i detta plan. Om du funderar lite så är det rätt intuitivt att det finns många Z som uppfyller kravet. Tar du ett Z rent slumpmässigt så är sannolikheten försvinnande liten att den kommer att landa precis i det plan som u och v spänner upp. 

Du frågar efter "en metod" för att få fram ett sånt Z. Men det finns liksom oändligt många svar, så det finns liksom inte en "korrekt" metod för just denna fråga. Finns många sätt att göra på! Om du har stött på kryss-produkt av vektorer så kan detta funka. Annars kan du chansa på ett Z och sen försöka dubbelkolla för att se att u,v och Z är linjärt oberoende. (En sådan chansning kommer i detta fall i princip jämt att funka om du inte har extremt otur). 

Hoppas du kan klura ut ett svar på 2'an. 

/K

Eftersom de två vektorerna som du valt inte kan spänna upp hela ${\mathrm{ℝ}}^3$ så måste åtminstone en vektor i standardbasen kunna användas som den tredje vektorn.

standardbasen = $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$.

Vi kan använda determinant-teori (om detta är känt förstås) för att hitta en kandidat. Vi använder det faktum att kolumnerna såväl som raderna i en determinant är linjärt oberoende omm determinanten är skild från noll.

Låt oss testa den första vektorn i standardbasen och vektorerna u och v.

$\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ 0& 2& -4\\ 0& -6& 10\end{array}\right|$ = 20 - 24 = -4 $\ne$ 0. Vi hade tur, determinanten är skild från noll, så vektorerna u, v och $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ är linjärt oberoende och utgör därför en bas för ${\mathrm{ℝ}}^3$.

Karljo skrev:

1. Ja det ser så ut, att u,v och w är parvis oberoende. 

2. ja typ: mer explicit om det finns en linjärkombination av tre vektorer v_1, v_2 och v_3 som blir 0 så måste alla motsvarande koefficienter vara 0. I formler blir det: a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3  = 0 medför att a_1=a_2=a_3 =0. 

Rent geometriskt betyder det att de tre vektorerna inte ligger i samma plan. Vektorerna u och v från uppgift 1 är ej parallella. Detta betyder att dessa spänner upp ett plan i R^3 (rummet). Du ska alltså finna en tredje vektor Z som inte ligger i detta plan. Om du funderar lite så är det rätt intuitivt att det finns många Z som uppfyller kravet. Tar du ett Z rent slumpmässigt så är sannolikheten försvinnande liten att den kommer att landa precis i det plan som u och v spänner upp. 

Du frågar efter "en metod" för att få fram ett sånt Z. Men det finns liksom oändligt många svar, så det finns liksom inte en "korrekt" metod för just denna fråga. Finns många sätt att göra på! Om du har stött på kryss-produkt av vektorer så kan detta funka. Annars kan du chansa på ett Z och sen försöka dubbelkolla för att se att u,v och Z är linjärt oberoende. (En sådan chansning kommer i detta fall i princip jämt att funka om du inte har extremt otur). 

 

Hoppas du kan klura ut ett svar på 2'an. 

 

/K

Stort tack för hjälpen.

Eftersom att alla var oberoende av varandra parvis så använde jag mig utav u och v och tog fram den nya vektorn i med hjälp utav kryss-produkten och det blev korrekt.

Tack för att du gav mig förståelse för uppgiften!