Vektoranalys, stokes sats

Hej!

arbetar med uppgift 9.5 och har förstått allt upp till att beräkna integralen.

Det jag har förstått varför vi har två integraler är att vi måste ta hänsyn till att (sfäriska koordinater om fi är vinkeln mellan xy) fi blir 0 för alla punkter på positiva x men pi för alla på negativa x och därför får vi olika normaler och värden för rotation när vi sen omvandlar till kartetiska koordinater för att beräkna dubbelintergralen som vi har fått från strokes sats. 

Vi har ju två definitioner för ortsvektor på elipsen, som ni kan se här

Det som förvirrar mig är att varför vi tar hela ellipsen vid dubbelintergralen när vi ska endast beräkna för positiva x och respektive negativa x… borde inte intergral 1 bli cdpi? Varför hela ellipsen? 

Vet att uppgiften kan förenklas genom att direkt beräkna rotationen för sfäriska koordinater men har inte kommit dit ännu.