Vektoranalys - Orientering på ndS

Jag undrar hur jag tar fram uttrycket för $d \vec{r} \times \vec{r}$ för att kunna beräkna rätt orientering på $\overset{⏜}{n} d S$ i förhållande till L.

Tacksam för vägledning :)

Mitt försök:

$\vec{r} = (ρ \cos (ϕ), ρ \sin (ϕ), z) d \vec{r} = \cos (ϕ) e_{ρ} d ρ + p^{2} \cos (ϕ) e_{ϕ} d ϕ + e_{Ζ} d Ζ$

man kanske kan räkna ännu mer på detta, men intuitivt tänker jag såhär: Hur skulle du beskriva kurvan? När du kommit fram till hur kurvan ser ut, och du tänker dig att du tar ett litet steg längs med den, vad blir $d\rho$ ? Vad blir $dz$ ? Vad blir $d\phi$ ? Vissa av dem är väl 0? Om du då ersätter dem med 0 i din formel för dr, vad har du kvar?

$\vec{r} = ρ \cos φ {\vec{e}}_{x} + ρ \sin φ {\vec{e}}_{y} + z {\vec{e}}_{z} = ρ {\vec{e}}_{ρ} + z {\vec{e}}_{z}$

$d \vec{r} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial ρ} d ρ + \frac{\partial \vec{r}}{\partial φ} d φ + \frac{\partial \vec{r}}{\partial z} d z = {\vec{e}}_{ρ} d ρ + ρ {\vec{e}}_{φ} d φ + {\vec{e}}_{z} d z$

Hur räknar jag ut ndS från kryssprodukten och får fram att den blir negativ? r x dr får jag till -64ez

PATENTERAMERA skrev:
$\vec{r} = ρ \cos φ {\vec{e}}_{x} + ρ \sin φ {\vec{e}}_{y} + z {\vec{e}}_{z} = ρ {\vec{e}}_{ρ} + z {\vec{e}}_{z}$

$d \vec{r} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial ρ} d ρ + \frac{\partial \vec{r}}{\partial φ} d φ + \frac{\partial \vec{r}}{\partial z} d z = {\vec{e}}_{ρ} d ρ + ρ {\vec{e}}_{φ} d φ + {\vec{e}}_{z} d z$

$d \vec{r} \times \vec{r} = ({\vec{e}}_{ρ} d ρ + ρ {\vec{e}}_{φ} d φ + {\vec{e}}_{z} d z) \times (ρ {\vec{e}}_{ρ} + z {\vec{e}}_{z}) = ρ z d φ {\vec{e}}_{ρ} + (ρ d z - z d ρ) {\vec{e}}_{φ} - ρ^{2} d φ {\vec{e}}_{z}$

Varför vill du räkna ut ndS?

Det är en kurvintegral. Kurvan parametriseras med en parameter. Eller ska du använda stokes sats?

jamolettin skrev:
Varför vill du räkna ut ndS?

Det är en kurvintegral. Kurvan parametriseras med en parameter. Eller ska du använda stokes sats?

Ja exakt, jag vill använda Stokes sats och därför behöver orienteringen på ndS vara rätt i förhållande till L

Ok, känner du till högerhandsregeln?

A, B och C är vektorer.

Om du har A x B = C

Peka med tummen vinkelrätt ut från handen.

Tumme i A:s riktning

Övriga raka fingrar i B:s riktning

Då är C:s riktning ut från handflatan.

PATENTERAMERA skrev:
PATENTERAMERA skrev:
$\vec{r} = ρ \cos φ {\vec{e}}_{x} + ρ \sin φ {\vec{e}}_{y} + z {\vec{e}}_{z} = ρ {\vec{e}}_{ρ} + z {\vec{e}}_{z}$

$d \vec{r} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial ρ} d ρ + \frac{\partial \vec{r}}{\partial φ} d φ + \frac{\partial \vec{r}}{\partial z} d z = {\vec{e}}_{ρ} d ρ + ρ {\vec{e}}_{φ} d φ + {\vec{e}}_{z} d z$

$d \vec{r} \times \vec{r} = ({\vec{e}}_{ρ} d ρ + ρ {\vec{e}}_{φ} d φ + {\vec{e}}_{z} d z) \times (ρ {\vec{e}}_{ρ} + z {\vec{e}}_{z}) = ρ z d φ {\vec{e}}_{ρ} + (ρ d z - z d ρ) {\vec{e}}_{φ} - ρ^{2} d φ {\vec{e}}_{z}$

I min formelsamling står r angiven som en vektor i cylinderkoordinater så jag är lite förvirrad över skrivsättet med x, y, z. Men det kanske är samma lösning? Oftast brukar det framgå enkelt i uppgiften genom o rita figur ifall normalen är positiv eller negativ men tycker det är svårt o avgöra

jamolettin skrev:
Ok, känner du till högerhandsregeln?

A, B och C är vektorer.

Om du har A x B = C

Peka med tummen vinkelrätt ut från handen.

Tumme i A:s riktning

Övriga raka fingrar i B:s riktning

Då är C:s riktning ut från handflatan.

Ja jag känner till den :) men tycker den är svår o tillämpa här för att jag inte själv får bestämma orientering utan orienteringen är angiven i uppgiften och jag måste ta fram normalriktning utifrån den. Hur vet jag att ndS blir just negativ?

r pekar ut från origo

dr x r ska peka i positiv z-riktning.

Alltså: Handflatan vänd uppåt (positiv z), fingrarna ut från origo. Då pekar högertummen i kurvans orientering (medurs)

paprika_22 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
PATENTERAMERA skrev:
$\vec{r} = ρ \cos φ {\vec{e}}_{x} + ρ \sin φ {\vec{e}}_{y} + z {\vec{e}}_{z} = ρ {\vec{e}}_{ρ} + z {\vec{e}}_{z}$

$d \vec{r} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial ρ} d ρ + \frac{\partial \vec{r}}{\partial φ} d φ + \frac{\partial \vec{r}}{\partial z} d z = {\vec{e}}_{ρ} d ρ + ρ {\vec{e}}_{φ} d φ + {\vec{e}}_{z} d z$

$d \vec{r} \times \vec{r} = ({\vec{e}}_{ρ} d ρ + ρ {\vec{e}}_{φ} d φ + {\vec{e}}_{z} d z) \times (ρ {\vec{e}}_{ρ} + z {\vec{e}}_{z}) = ρ z d φ {\vec{e}}_{ρ} + (ρ d z - z d ρ) {\vec{e}}_{φ} - ρ^{2} d φ {\vec{e}}_{z}$

I min formelsamling står r angiven som en vektor i cylinderkoordinater så jag är lite förvirrad över skrivsättet med x, y, z. Men det kanske är samma lösning? Oftast brukar det framgå enkelt i uppgiften genom o rita figur ifall normalen är positiv eller negativ men tycker det är svårt o avgöra

Du måste använda informationen i texten.

$d \vec{r} \times \vec{r} ∙ {\vec{e}}_{z} > 0$ .

$d \vec{r} \times \vec{r} ∙ {\vec{e}}_{z} = - ρ^{2} d φ$ .

Således måste vi ha $d φ < 0$ , därför måste kurvan gås igenom medurs, eftersom moturs burkar definieras om positiv riktning.

paprika_22 skrev:
Ja exakt, jag vill använda Stokes sats och därför behöver orienteringen på ndS vara rätt i förhållande till L

Jag tycker att det här är smidigare att beräkna integralen direkt utan att använda Stokes sats, se länk. På kurvan så är

$\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}=\rho^3d\phi$

med $\rho=4$ överallt på kurvan.

Svara

Visa senaste svar