Vektoranalys: Metriktensorn och dess specialfall

Korrekt. Men det blir skalfaktorerna i kvadrat på diagonalen, men det var kanske det du menade.

Vänta lite PATENTERAMERA, jag vet att jag har fel. Metriktensorn är (definitionsmässigt?) lika med IP av tangentbasvektorerna i varje punkt, så det som står i diagonalerna ska väl vara 1 även för cylinder och sfäriska koordinater? Basvektorerna är ju normerade?

Korrekt. Men det blir skalfaktorerna i kvadrat på diagonalen, men det var kanske det du menade.

Nej, det tänkte jag inte på, däremot, ska det inte vara inversen av skalfaktorerna så att vi återfår den andra formeln på wikisidan för ortogonala koordinatsystem? 

Qetsiyah skrev:

Metriktensorn är (definitionsmässigt?) lika med IP av tangentbasvektorerna i varje punkt

Detta vet jag säkert nu för han sa det i denna video.

Men i den videon är ingen tangentbasvektor normerad, så det ska ju vara skalfaktorerna i kvadrat i diagonalen som du sa, men fortfarande, hur försvinner kvadraten och blir en invers i uttrycket för gradienten? Är $g^{ij}$ inversmetriken? Det är ju två kovarianta index precis som det ska va.

Det beror på vilka basvektorer du väljer - med eller utan hatt. Med hatt blir det ${\delta }_{ij}$, annars skalfaktorerna i kvadrat.

Notera att g_ij betecknar komponenterna till den metriska tensorn. g^ij betecknar komponenterna till den metriska tensorns invers.

Notera att den metriska tensorn inte är något annat än skalärprodukten.

g(x, y) = x•y

Jag tänkte fel, index uppe var visst kontravariant och index nere var kovariant, så på wikipedia är det inversmatriken som avses. Men hur försvinner kvadraten?

Inversen till en diagonal tensor är väl bara att ta inversen på alla diagonalelement?

Tillägg: 19 okt 2021 16:08

Plötsligt blev tensorer mer bekvämt, på tal om min gamla tråd om vad en tensor är för nåt.

Med hatt.

g_ij = g(${\hat{\mathit{e}}}_i$, ${\hat{\mathit{e}}}_j$) = ${\hat{\mathit{e}}}_i\bullet {\hat{\mathit{e}}}_j={\delta }_{ij}$.

Utan Hatt.

Skalfaktorerna i kvadrat på diagonalen. Tex e₁•e₁= |e₁|² = (h₁)².

Jag vet, jag förstår, men metrikinversen är ju bara diagonalelementen invers, dvs 1/h^2, men det ska va 1/h?

Nej, för inversen skall det vara 1/h².

Okej, men i den andra formlen i bilden då?

Tillägg: 19 okt 2021 16:18

Jaha, de har använt hattarna, det tillkommer alltså en till 1/h eftersom basvejktorn är normerad jämfört med den i första ekvationen. Jag msåte vara försiktig med hattarna...

g¹¹e₁ = (h₁)^-2e₁ = (h₁)^-1${\hat{\mathit{e}}}_1$.

Ja, tack. Och en sista fråga, finns nåt finare ord för "diagonal tensor"?

Känner inte till något. Men man borde kanske säga diagonaliserbar tensor, eftersom tensorns komponenter beror av vilka basvektorer man valt, så frågan är om man kan hitta basvektorer som diagonaliserar den tillhörande komponentmatrisen.

Ok, tack för din hjälp!

(Egentligen vill jag vara försiktig med att associera tensorer med matriser alltför mycket , tror inte det är bra.)

Enligt yotube är perspektiven på tensorer som följer:

ingenjörer: tesnorer är multiindexed objects
fysiker: objekt som transformeras som tensorer
matematiker: element i tensorprodukt av vektorrum

2 och 3 är kompatibla men 1 är inte alls bra.

Jag tror många fysiker (och matematiker) även ser tensorer som multilinjära former.

Men det är bara en multiplinjär form om alla index/alla komponenter är kovarianta?

Du kan tex ha blandade tensorer: T($\omega$, x), där första argumentet är kovektor och andra argumentet är vektor. Och T bilinjär, förstås. Då får du ett kontravariant och ett kovariant index.

Ja, men "form" måste ha som bild en skalär, det du menar är nog multilinjära avbildningar, inte former. ...eller?

Alltså, den blandade tensorn du skrev är inte en bilinjär form, men den är en bilinjär avbildning.

Tillägg: 19 okt 2021 19:10

Jag har rätt, men argumentet jag gav är fel:

https://en.wikipedia.org/wiki/Multilinear_form

Nja, jag tänkte mig här en ”form”, dvs billijär avbildning V^*x V -> $\mathrm{ℝ}$, så brukar tensorer ofta definieras i tillämpningar, tex relativitetsteori. Kanske går det att generalisera till allmänna bilinjära avbildningar, men det har jag inte sett i tillämpningar.

Ja... men form brukar man kalla $f: V\times V \rightarrow \mathbb{R}$.

Eller alltså menar du form på vanlig svenska eller nåt?

Nja, jag tror definitionen kan vara mer generell.

Jag håller med dig om vi pratar om så kallade k-former och k-vektorer. Men då brukar man väl dessutom anta antisymmetri.

Jag tror det är vanligare med min definition av form, tex 

https://en.wikipedia.org/wiki/Bilinear_form

https://en.wikipedia.org/wiki/Multilinear_form

Visa spoiler

Och att man brukar säga att inre produkten är en bilinjär from som uppfyller vissa kriterier

Jag håller med dig om vi pratar om så kallade k-former och k-vektorer. Men då brukar man väl dessutom anta antisymmetri.

Ja, jag tänker också på det, och när man säger kovektor/vektor, då är ju kovektor en form.

Hursomhelst kan vi ju definiera en blandad tensor som jag gjorde, oavsett om vi använder ordet form eller inte.

PATENTERAMERA skrev:

Jag tror många fysiker (och matematiker) även ser tensorer som multilinjära former.

Isåfall ja, och det är faktiskt samma som att betrakta de som element av tensorprodukter pga univesriella linearitetssatsen eller vad den kallades.

https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_property (för mycket kategoriteori för mig men vektorrum är i alla fall ett specialfall)

Ja vad jag förstår skall de två definitionerna vara ekvivalenta, i alla fall för ändliga dimensioner.

https://math.stackexchange.com/questions/1178004/basis-for-tensor-product-of-infinite-dimensional-vector-spaces

Jag tror att de säger att det gäller, gör de det?