Vektoranalys - linjeintegral (sfäriska koordinater)

Vektoranalys är tyvärr inte mitt forte, men du har ju att theta = pi*t. Kan du inte använda det?

Jo jag misstänker något sånt, sen har jag skrivit fel, det ska inte vara + mellan cos och sin. Det ska fortfarande vara en vektor. Antar att det blir någon typ av partiell integrering eftersom jag har en produkt 

Och nu är det jag som frågar, ren nyfikenhet, du behöver inte svara.

Integralen av en kryssprodukt är ju integralen av en vektor. Blir inte svaret en vektor i så fall?

Det stämmer 

OK, jag gjorde ett lösningsförsök. Om inte annat kan ni ju ha det att garva åt under julfesten.

En korrekt lösning till uppgiften om linjen inte hade varit angiven i sfäriska koordinater :) jag började också lösa dr den vägen till o börja med. Inget o garva åt, ett bra försök! 

Men de sfäriska koord är ju överförda till parametern t?

Ska man använda x = r cos sin, y = r sin sin, z = r cos osv?

Nej jag tar en kopp kaffe.

En framkomlig väg är

$\displaystyle \mathbf{r}\left(t\right)=(\frac{(1+t)\sin\left(\pi t \right)}{\sqrt{2}},\, \frac{(1+t)\sin\left(\pi t\right)}{\sqrt{2}},\, (1+t)\cos\left(\pi t\right))$

$\displaystyle d\mathbf{r}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t)\mathrm{d}t$

Och då alltså

$\displaystyle \int _0^1 \mathbf{r}\left(t\right)\times \frac{d\mathbf{r}}{dt}\,\mathrm{d}t$

Vill man räkna i "rent" sfäriska koordinater måste man komma ihåg att $\mathbf{r}=r\hat{r}$ och hålla tungan rätt i munnen när man bildar t.ex. kryssprodukt och andra storheter.

$\mathbf{r}\times \mathrm{d}\mathbf{r}=r\hat{r}\times (\hat{r}dr+\hat{\theta}rd\theta)=\hat{\varphi} r^2\pi dt$

eftersom $d\varphi=0$ samt $d\theta=\pi dt$

Vidare är $\hat{\varphi}=(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}},0)$ och $r^2=(t+1)^2$ varför integralen blir

$\displaystyle \int_0^1\,(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}},0)(t+1)^2\pi\,\mathrm{d}t=\frac{7\pi }{3 }(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1 }{\sqrt{2}},0)$

Edit: korrigerande från $r=(t-1)$  till $r=(t+1)$

Nu när jag tittar mer noggrant på din lösning ser jag att du nästan kom hela vägen fram, men tänk på att $\hat{\varphi}$ endast beror på $\varphi$, inte på polvinkeln $\theta$, och i din uppgift är $\varphi$ konstant.

Okej jag tror jag förstår, så jag ska inte ha vektorn (-sin(theta), cos(theta),0) tänker jag för får inte det o stämma isåfall 

Ja, du har "fel" definition av basvektorn, men tänk på att en del kurslitteratur använder vinklarna på olika sätt.  Det sätt som är vanligast på universitet och högskolor i Sverige är

Där $\theta$ är polvinkeln och $\varphi$ är vinkeln i xy-planet. Uppräkningsordningen är $(r,\theta,\varphi)$

Med dessa definitioner blir den normerade basvektorn

$\hat{\varphi}=-\mathbf{e}_x\sin(\varphi)+ \mathbf{e}_y\cos(\varphi)$

Det kan hända att din lärobok använder en annan definition där $\theta$ är den vinkel man normalt anser är $\varphi$.

Den beräkning jag genomförde ovan bygger alltså på

$x=r\sin(\theta)cos(\varphi),\quad  y=r\sin(\theta)sin(\varphi),\quad z=rcos(\theta)$ Med vinklar enligt figuren samt uppräkningsordningar $(x,y,z)$ resp $(r,\theta,\varphi)$.

Definitionerna följer (ISO 80000-2:2019), vilket också är den definition som används av formelsamlingen Beta, den vanligaste formelsamlingen för matematik i Sverige.

Löst! Tack så mycket för hjälpen :)

Snyggt, jag ser nu att jag av någon anledning räknade med $r=(t-1)$ istället för $r=(1+t)$ men du verkar ju ha löst det :)