9 svar

166 visningar

Vektoranalys: kryssprodukt med einsteins notation, checka mitt påstående

Hej, på engelska wiki står:

$(a \times b)^i=\epsilon_{ijk}a^jb^k$

Då tycker jag:

$a \times b=e_i(\epsilon_{ijk}a^jb^k)$

Rätt?

Det ser konstigt ut, du borde ha kontravariant i på båda sidor.

I båda ekvationer?

Qetsiyah skrev:
I båda ekvationer?

Återkommer med härledning av korrekt formel.

Först lite allmängods.

Vi förutsätter här att vi har definierat skalärprodukten och kryssprodukten på de vanliga geometriska sätten, dvs baserat på vinklar, längder, högerhandsregel, normaler osv.

Baser

Vi har en godtycklig (numrerad) uppsätting basvektorer.

${\vec{e}}_{i}$ , i = 1, 2, 3.

Då finns det en unik (numrerad) uppsättning av basvektorer (den reciproka basen)

${\vec{e}}^{j}$ , j = 1, 2, 3, som uppfyller

${\vec{e}}^{j} ∙ {\vec{e}}_{i} = δ_{i}^{j} = \{\begin{cases} 1, j = i \\ 0, j \neq i \end{cases}$ .

Varje vektor $\vec{v}$ kan naturligtvis uttryckas i båda dessa baser

$\vec{v} = v^{k} {\vec{e}}_{k} = v_{k} {\vec{e}}^{k}$ ,

här använder vi summationskonventionen, om samma index (här k) förekommer både uppe och nere i en term så är det underförstått att man skall summera över detta index. Om inget annat sägs så gäller summationskonventionen i fortsättningen.

Du kan säkert lista ut att

$v^{k} = {\vec{e}}^{k} ∙ \vec{v}$ och

$v_{k} = {\vec{e}}_{k} ∙ \vec{v}$ .

Obs om $\{{\vec{e}}_{k}\}$ är en ON-bas så gäller det att

${\vec{e}}_{i} = {\vec{e}}^{i}, i = 1, 2, 3$ .

Man brukar då vanligen skriva alla index nere, men vi kommer hålla oss till den allmänna situationen här.

Determinanten

Det finns olika sätt att definiera determinanten av en 3x3-matris A. Här är en variant:

detA := $ε_{i j k} A_{1}^{i} A_{2}^{j} A_{3}^{k} (= ε^{i j k} A_{i}^{1} A_{j}^{2} A_{k}^{3})$ . Kolla att det ger det värde du förväntar dig.

Trippelprodukten

Den skalära trippelprodukten mellan tre vektorer definieras enligt

$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] : = \vec{a} ∙ (\vec{b} \times \vec{c})$ . Denna produkt är trilinjär och alternerande (den är noll om två av vektorerna är lika).

Trippel produkten är därför även antisymmetrisk, vilket vi kan uttrycka på följande sätt

$[{\vec{a}}_{i}, {\vec{a}}_{j}, {\vec{a}}_{k}] = ε_{i j k} [{\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3}]$ , där vektorerna är tre godtyckliga vektorer.

Formel för Kryssprodukten

$\vec{a} \times \vec{b} = [{\vec{e}}_{i}, \vec{a}, \vec{b}] {\vec{e}}^{i} = [{\vec{e}}_{i}, a^{j} {\vec{e}}_{j}, b^{k} {\vec{e}}_{k}] {\vec{e}}^{i} = a^{j} b^{k} [{\vec{e}}_{i}, {\vec{e}}_{j}, {\vec{e}}_{k}] {\vec{e}}^{i} = ε_{i j k} {\vec{e}}^{i} a^{j} b^{k} [{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{3}]$ =

$[{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{3}] |\begin{matrix} {\vec{e}}^{1} & {\vec{e}}^{2} & {\vec{e}}^{3} \\ a^{1} & a^{2} & a^{3} \\ b^{1} & b^{2} & b^{3} \end{matrix}|$ .

Om $\{{\vec{e}}_{i}\}$ är en höger-orienterad ON-bas så får vi den formel som man vanligen ser i böcker

$\vec{a} \times \vec{b} = |\begin{matrix} {\vec{e}}_{1} & {\vec{e}}_{2} & {\vec{e}}_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix}|$ , där vi för enkelhets skull kör med index nere hela vägen, enligt vad sagts tidigare för ON-baser.

Så om vi har en höger-orienterad ON-bas så gäller det att

${(\vec{a} \times \vec{b})}_{i} = ε_{i j k} a_{j} b_{k}$ ,

men om vi har en vänster-orienterad ON-bas så gäller det i stället att

${(\vec{a} \times \vec{b})}_{i} = - ε_{i j k} a_{j} b_{k}$ .

PATENTERAMERA skrev:
Då finns det en unik (numrerad) uppsättning av basvektorer (den reciproka basen)

dualbasen?

Obs om $\{{\vec{e}}_{k}\}$ är en ON-bas så gäller det att
${\vec{e}}_{i} = {\vec{e}}^{i}, i = 1, 2, 3$ .
Man brukar då vanligen skriva alla index nere, men vi kommer hålla oss till den allmänna situationen här.

Åh!! Ja, det är en ON bas och kartesisk, kan du inte hålla dig till den allmänna situationen?

Så om vi har en höger-orienterad ON-bas så gäller det att
${(\vec{a} \times \vec{b})}_{i} = ε_{i j k} a_{j} b_{k}$ ,
men om vi har en vänster-orienterad ON-bas så gäller det i stället att
${(\vec{a} \times \vec{b})}_{i} = - ε_{i j k} a_{j} b_{k}$ .

Men jag vill inte veta im i:te kompnenten av den resulterande vektorn, jag vill veta vektorn, därav ei i min gissning

Den duala basen är väl egentligen en bas för det duala rummet. Men det finns definitivt en länk här. Den reciproka basen är bilden av den duala basen under ”sharp-operatorn” #. Kolla ”musical isomorphism” på Wikipedia.

Du får ju vektorn om du läser härledningen. Kolla vad som står efter näst sista =.

Lite oklart om du bara är intresserad av ON-baser eller om du vill ha allmänna fallet. Men du får båda, så varför denna tandagnisslan? :-)

Men jag vill inte ha $(...)_i$ , jag vill ha hela vektorn, vad blir det?

Om det är ett i notationen korrekt uttryck med en bas du söker gäller

$\mathbf{A}\times\mathbf{B}=\epsilon^{ijk}A_jB_k\mathbf{e}_i$

Permutationssymbolen $\epsilon^{k_1..k_n}$ är en kontravariant tensordensitet med vikten 1. Kallas också relativ tensor.

Permutationssymbolen $\epsilon_{h_1..h_n}$ är en kovariant tensordensitet med vikten -1. Kallas också relativ tensor.

Qetsiyah skrev:
Men jag vill inte ha $(...)_i$ , jag vill ha hela vektorn, vad blir det?

Som sagt den generella formeln kan skrivas på lite olika sätt, tex:

$\vec{a} \times \vec{b} = ε_{i j k} {\vec{e}}^{i} a^{j} b^{k} [{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{3}] = \frac{ε_{i j k} {\vec{e}}^{i} a^{j} b^{k}}{[{\vec{e}}^{1}, {\vec{e}}^{2}, {\vec{e}}^{3}]} = ε^{i j k} {\vec{e}}_{i} a_{j} b_{k} [{\vec{e}}^{1}, {\vec{e}}^{2}, {\vec{e}}^{3}] = \frac{ε^{i j k} {\vec{e}}_{i} a_{j} b_{k}}{[{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{3}]}$ .

Där vi utnyttjat att

$[{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{3}] [{\vec{e}}^{1}, {\vec{e}}^{2}, {\vec{e}}^{3}] = 1 .$ Visa detta!!

Så du har helt rätt att formeln kan skrivas

$\vec{a} \times \vec{b} = ε_{i j k} {\vec{e}}_{i} a_{j} b_{k}$ , om vi begränsar oss till höger-orienterad ON-bas. Och det ligger väl ingen skam i att göra det.

Svara

Visa senaste svar