Vektoranalys - kombinerade koordinatsystem

Är det a) du frågar om?

I kartesiska komponenter har vi

${\overrightarrow{e}}_x$= (1, 0, 0), ${\overrightarrow{e}}_{\rho }$ = ($\cos \phi , \sin \phi , 0$).

${\overrightarrow{e}}_x\bullet {\overrightarrow{e}}_{\rho }=\cos \phi =(\mathrm{rita} \mathrm{figur})=x/\rho .$

PATENTERAMERA skrev:

Är det a) du frågar om?

I kartesiska komponenter har vi

${\overrightarrow{e}}_x$= (1, 0, 0), ${\overrightarrow{e}}_{\rho }$ = ($\cos \phi , \sin \phi , 0$).

${\overrightarrow{e}}_x\bullet {\overrightarrow{e}}_{\rho }=\cos \phi =(\mathrm{rita} \mathrm{figur})=x/\rho .$

Hur skulle det se ut om båda skulle vara i cylindrika koordinater? Jag tänkte på den här men det verkar inte stämma $(1,0,0)·(\rho \cos \phi ,0,0)$

Om du vill genomföra samma beräkning i polära koordinater behöver du först uttrycka  vektorn $\mathbf{\hat{e}}_x$ i de nya basvektorerna $\mathbf{\hat{e}}_\rho$ och $\mathbf{\hat{e}}_\phi$.

Det visar sig att den vinkelräta projektionen av $\mathbf{\hat{e}}_x$ på $\mathbf{\hat{e}}_\rho$ blir $\cos(\phi)$. Alltså har vektorn $\mathbf{\hat{e}}_x$ komponenten $\cos(\varphi)$ i $\mathbf{\hat{e}}_\rho$-led.

Kan du räkna ut vad komponenten blir i $\mathbf{\hat{e}}_\varphi$-led?

När du sedan har komponenterna för vektorn $\mathbf{\hat{e}}_x$ uttryckt i basen $\mathbf{\hat{e}}_\rho$ och $\mathbf{\hat{e}}_\varphi$ kan du bilda skalärprodukten mellan $\mathbf{\hat{e}}_x$ och $\mathbf{\hat{e}}_\rho$.

D4NIEL skrev:

Om du vill genomföra samma beräkning i polära koordinater behöver du först uttrycka  vektorn $\mathbf{\hat{e}}_x$ i de nya basvektorerna $\mathbf{\hat{e}}_\rho$ och $\mathbf{\hat{e}}_\phi$.

 

Det visar sig att den vinkelräta projektionen av $\mathbf{\hat{e}}_x$ på $\mathbf{\hat{e}}_\rho$ blir $\cos(\phi)$. Alltså har vektorn $\mathbf{\hat{e}}_x$ komponenten $\cos(\varphi)$ i $\mathbf{\hat{e}}_\rho$-led.

Kan du räkna ut vad komponenten blir i $\mathbf{\hat{e}}_\varphi$-led?

När du sedan har komponenterna för vektorn $\mathbf{\hat{e}}_x$ uttryckt i basen $\mathbf{\hat{e}}_\rho$ och $\mathbf{\hat{e}}_\varphi$ kan du bilda skalärprodukten mellan $\mathbf{\hat{e}}_x$ och $\mathbf{\hat{e}}_\rho$.

Hänger inte riktigt med, hade jag inte uttryckgt vektorn e_x i polära koordinater?

Jag har lite svårt för geometriska resonemang när jag inte får ihop algebran. Jag förstår att skalärprodukt kan också beskrivas som ortogonalprojektion dock fattar jag inte varför när jag uttrycker båda i kartesiska koordinater får jag ett svar och när jag uttrycker båda i cylindriska koordinater blir det annorlunda (antagligen för att jag gör fel och har missförstått lite)

När man har flera olika koordinatbaser är det viktigt att skilja mellan elementlistan (vektorns komponenter) och basvektorerna.

Basvektorn $\mathbf{\hat{e}}_\rho$ har komponenterna $(1,0)$ i basen $\mathbf{\hat{e}}_\rho,  \mathbf{\hat{e}}_\varphi$.

Basvektorn $\mathbf{\hat{e}}_x$ har komponenterna $\left(\cos(\varphi),-\sin(\varphi)\right)$ i basen $\mathbf{\hat{e}}_\rho,  \mathbf{\hat{e}}_\varphi$. Man kan också skriva

$\mathbf{\hat{e}}_x =\cos(\varphi)\mathbf{\hat{e}}_\rho - \sin(\varphi) \mathbf{\hat{e}}_\varphi$

Alltså blir skalärprodukten

$\mathbf{\hat{e}}_x \cdot \mathbf{\hat{e}}_\rho =\left(\cos(\varphi)\mathbf{\hat{e}}_\rho - \sin(\varphi) \mathbf{\hat{e}}_\varphi\right)\cdot \mathbf{\hat{e}}_\rho =\cos(\varphi)$

Vilket är samma resultat som i det rektangulära koordinatsystemet. Man kan visa att skalärprodukten är invariant (inte byter värde) under transformation mellan ortogonala koordinatsystem.

Om vi istället tecknar det  med elementlistorna (komponenterna) blir det

$\mathbf{\hat{e}}_x \cdot \mathbf{\hat{e}}_\rho =\left(\cos(\varphi), -\sin(\varphi)\right)\cdot (1,0)=\cos(\varphi)$

D4NIEL skrev:

När man har flera olika koordinatbaser är det viktigt att skilja mellan elementlistan (vektorns komponenter) och basvektorerna.

Basvektorn $\mathbf{\hat{e}}_\rho$ har komponenterna $(1,0)$ i basen $\mathbf{\hat{e}}_\rho,  \mathbf{\hat{e}}_\varphi$.

Basvektorn $\mathbf{\hat{e}}_x$ har komponenterna $\left(\cos(\varphi),-\sin(\varphi)\right)$ i basen $\mathbf{\hat{e}}_\rho,  \mathbf{\hat{e}}_\varphi$. Man kan också skriva

$\mathbf{\hat{e}}_x =\cos(\varphi)\mathbf{\hat{e}}_\rho - \sin(\varphi) \mathbf{\hat{e}}_\varphi$

Alltså blir skalärprodukten

$\mathbf{\hat{e}}_x \cdot \mathbf{\hat{e}}_\rho =\left(\cos(\varphi)\mathbf{\hat{e}}_\rho - \sin(\varphi) \mathbf{\hat{e}}_\varphi\right)\cdot \mathbf{\hat{e}}_\rho =\cos(\varphi)$

Vilket är samma resultat som i det rektangulära koordinatsystemet. Man kan visa att skalärprodukten är invariant (inte byter värde) under transformation mellan ortogonala koordinatsystem.

Om vi istället tecknar det  med elementlistorna (komponenterna) blir det

$\mathbf{\hat{e}}_x \cdot \mathbf{\hat{e}}_\rho =\left(\cos(\varphi), -\sin(\varphi)\right)\cdot (1,0)=\cos(\varphi)$

Aha, nu hänger jag med. Dock vad hände med z- koordinaten eller den "tredje dimensionen" svaret bör bli samma för båda har 0 i z-koordinaten

Jag försöker ta reda på var du har fått den här informationen från och det verkar som att du likställer basvektorerna i cylindriska koordinater med de i kartesiska?

Att e_p = e_x till exempel? (menar inte att de är lika utan att de har samma position)
För så som du har beskrivit e_x cylindriska basen så har de beskriver e_p. 

Nichrome skrev:

Att e_p = e_x till exempel? (menar inte att de är lika utan att de har samma position)
För så som du har beskrivit e_x cylindriska basen så har de beskriver e_p. 

Jag förstår inte vad du menar, vad är det som har samma position? Jämför du med någon bok?

För att kunna uttrycka en bas i en annan bas kan man antingen använda geometriska resonemang (som ovan) eller (andra) koncept från linjär algebra. Olika exempel på hur man kan göra brukar ingå när man pratar om basbytesmatriser. De olika sambanden finns också färdigt härledda i formelsamlingar, till exempel:

D4NIEL skrev:

Nichrome skrev:

Att e_p = e_x till exempel? (menar inte att de är lika utan att de har samma position)
För så som du har beskrivit e_x cylindriska basen så har de beskriver e_p. 

Jag förstår inte vad du menar, vad är det som har samma position? Jämför du med någon bok?

För att kunna uttrycka en bas i en annan bas kan man antingen använda geometriska resonemang (som ovan) eller (andra) koncept från linjär algebra. Olika exempel på hur man kan göra brukar ingå när man pratar om basbytesmatriser. De olika sambanden finns också färdigt härledda i formelsamlingar, till exempel:

 

Tack, jag försöker bara förstå varför facit ville att man skulle svara x/rå istället för bara cos phi? Det står inte specifikt vilka koordinater man ska använda och är det i så fall fel att svara cos phi? För x/phi är svaret i kartesiska koordinater right?

Varför de ville ha ett svar på just denna form kan jag inte svara på. Men cos(phi) borde väl ge rätt också.

Svaret var väl x/rho och inte x/phi. Det är väl inte direkt kartesiska koordinater utan en blandning av kartesiska och cylinderkoordinater. Om man skulle svara med kartesiska så skulle man nog svara $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$.

Tänk på att skalärprodukten av två enhetsvektorer bara är cosinus för vinkeln mellan dem.

Säg att du vill uttrycka ${\hat{e}}_x$i termer av basvektorerna i cylinderkoordinater.

${\hat{e}}_x=a{\hat{e}}_{\rho }+b{\hat{e}}_{\phi }$. Hur hitta a och b?

Vi skalärmultiplicerar båda led med ${\hat{e}}_{\rho }$.

a = ${\hat{e}}_x\bullet {\hat{e}}_{\rho }=\cos \phi$.

Vi skalärmultiplicerar båda led med ${\hat{e}}_{\phi }$.

b = ${\hat{e}}_x\bullet {\hat{e}}_{\phi }=\cos (\phi +{90}^{°})=-\sin \phi$.

Således

${\hat{e}}_x=\cos \phi {\hat{e}}_{\rho }-\sin \phi {\hat{e}}_{\phi }$.