Vektoranalys: integrera ett vektorfält med avseende på en variabel

Hej, jag studerade nyss flervariabelanalys, och nu är det dags för vektoranalys. I en uppgift skulle man beräkna

$\int y e_{x} + x y e_{z} d y = \int (y, 0, x y) d y$ $= \frac{1}{2} y^{2} e_{x} + C + \frac{1}{2} x y^{2} e_{z}$

Vad är det för konstig sak? Svaret var det jag förväntade mig (integrera komponentvis avseende y), men jag har aldrig sett nåt sånt, vad betyder det?

Är det som en linjeintegral men dottad med den konstanta vektorn (0,1,0) istället för $d \bar{r}$ ? Men det kan det inte vara, svaret är ju en vektor, inte en skalär.

ye_x= y(1,0,0) = (y , 0 , 0)

xye_z = xy(0,0,1) = (0 , 0 , xy )

yex + xyez = (y , 0 , 0) + (0 , 0 , xy ) = (y , 0 , xy)

Integrera en vektorvärd funktion är inget speciellt utan vanligt inom mekanik:

Integration of Vector-Valued Functions

Det ser ut som om det här är från en inledning till ytintegraler och flödesintegraler.

När jag googlar indefinite respektive definite integral of vector fields får jag ingenting utom den du redan länkat till. Nu blir jag väldigt förvirrad, varför finns inget på internet? Eller i böjers flervariabelanalys?

I artikeln talar de inte om vektorfält, bara kurvor R-->R2 eller R3.

Uppgiften jag skrev ovan, hur kan den tolkas?

Att integrera en vektorvärd funktion är egentligen samma sak som att integrera en skalär funktion:

What is the integral of a vector-valued function?

Detta är förmodligen varför det inte har egna avsnitt.

Qetsiyah skrev:
Uppgiften jag skrev ovan, hur kan den tolkas?

Det kan vara en rörelse längs med y-axeln i ett dissipativt vektorfält. Detta kan exempelvis vara för att beräkna energiförlusten vid rörelse genom ett turbulent vindflöde. Allt beror på vad vektorfältet beskriver.

Men då är det ju ändå en linjeintegral det rör sig om, eller?

I den här länken

https://www.ck12.org/calculus/indefinite-integral-of-a-vector-valued-function/lesson/Integration-of-Vector-Valued-Functions-CALC/

beskrivs som exempel om vektorfältet beskriver acceleration, då kommer integralen av vektorfältet beskriva hastighet. Jämför med acceleration i en variabel.

Att det inte är en linjeintegral skrev du i första inlägget då det kom fram att svaret är en vektor. Som du då påpekade så blir en linjeintegral en skalär inte en vektor.

Som Ebola skrev. För att förstå vad integralen betyder måste vektorfältets betydelse vara given. Annars får man nog se det som en ren räkneövning tror jag.

Svara

Visa senaste svar