Vektoranalys i rummet

Det är svårt att förklara komplexa begrepp med enkla ord. Googla lite på t.ex. "physical interpretation of divergence" etc. Divergens är väl det enklare av div/rot att få grepp om. Vi är ju inte så vana att tänka i vektorfält inte skalärfält heller kanske.
Jag har inget bra enkelt svar åt dig. Du får nog lägga den tid som krävs för att få antingen en slags fysikalisk förståelse eller "bara" en matematisk vana att hantera begreppen. Detsamma gäller satserna. Googla på exempel och övningar om inte övningarna i boken duger.

Kan varmt rekommendera materialet på https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus där finns väldigt bra videos för de flesta av sakerna du frågar efter och de hjälpte mig mycket när jag läste bl.a. flervariabelsanalys

Som tidigare sagts i denna tråd är det inte helt enkelt att kort sammanfatta dessa viktiga komponenter i vektoranalysen.

Jag gör ett litet försök.

Så Gauss sats skapar en  "länk" mellan en volymsintegral och en flödesintegral över en sluten yta.

Stokes' sats så att säga "tar bort" en dimension på divergenssatsen och länkar en flödesintegral över en icke-sluten yta S med en kurvintegral över den slutna kurva L som omgärdar S.

$\oint\limits_{L} \mathbf{F}\bullet d\mathbf{r}=\iint\limits_{S}rot\,\mathbf{F}\bullet \mathbf{\hat{n}}\, dS=\iint\limits_{S}\nabla\times\mathbf{F}\bullet \mathbf{\hat{n}}\, dS$.

Anm $\nabla\times\mathbf{F}$ är ett vektorfält.

Hoppas du någorlunda förstod.

dr_lund skrev:

Som tidigare sagts i denna tråd är det inte helt enkelt att kort sammanfatta dessa viktiga komponenter i vektoranalysen.

Jag gör ett litet försök.

Så Gauss sats skapar en  "länk" mellan en volymsintegral och en flödesintegral över en sluten yta.

Stokes' sats så att säga "tar bort" en dimension på divergenssatsen och länkar en flödesintegral över en icke-sluten yta S med en kurvintegral över den slutna kurva L som omgärdar S.

$\oint\limits_{L} \mathbf{F}\bullet d\mathbf{r}=\iint\limits_{S}rot\,\mathbf{F}\bullet \mathbf{\hat{n}}\, dS=\iint\limits_{S}\nabla\times\mathbf{F}\bullet \mathbf{\hat{n}}\, dS$.

Anm $\nabla\times\mathbf{F}$ är ett vektorfält.

 

Hoppas du någorlunda förstod.

Tack! 🙏 ja det blir tydligare. Allt handlar om att beräkna flödet, men med olika metoder. Stokes sats greppar jag inte helt trots jag gett mig på alla uppg i kaptlet (därmed inte klarat alla) för att försöka förstå. Jag är med på att den tar bort en dimension på divergensen, men när jag kommer hit

"länkar en flödesintegral över en icke-sluten yta S med en kurvintegral över den slutna kurva L som omgärdar S."

Har jag väldigt svårt att greppa. Har du eller ngn möjlighet att förklara, för jag kan inte alls "se"/föreställa mig vad det är som eg händer.

Okej, lite mer info om Stokes' sats.

I figuren har vi ytan S med positivt orienterade randkurvan L.

Stokes' sats: $\iint\limits_{S}\nabla\times\mathbf{F}\bullet d\mathbf{S}=\oint\limits_{L} \mathbf{F}\bullet d\mathbf{r}$.  (I figuren: $d\mathbf{S}=\mathbf{\hat{N}} dS$)

Anm: Precis som med divergenssatsen, noterar vi "likheterna" med integralkalkylens välkända

$\int\limits_{x_1}^{x_2}\frac{df}{dx}\, dx=f(x_2)-f(x_1)$.

Då vi integrerar en derivata över ett område, reduceras beräkningen till att bara bero på funktionens värden på områdets rand.

Intuitiv tolkning av $\nabla\times\mathbf{F}$: Det är ett mått på den lokala rotationen. (Typ skovelhjul i 2-dim flöde)

Jag skulle vilja att du funderar vidare på detta lilla problem: Anta att $\mathbf{F}=\begin{bmatrix}x^2\\xz^2\\xz\end{bmatrix}$, och

L är enhetscirkeln i planet z=1, dvs  $L:\{x^2+y^2=1,\quad z=1\}$, positivt orienterad sett uppifrån. L genomlöps ett varv.

Beräkna:

(1): $\oint\limits_{L} \mathbf{F}\bullet d\mathbf{r}$ (parametrisera L, $d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\, dt$),

(2) Använd Stokes' sats $\iint\limits_{S}\nabla\times\mathbf{F}\bullet \mathbf{\hat{N}}\, dS$.

Svaret i bägge fallen ska förstås bli detsamma, nämligen $\pi$.