Vektoranalys i rummet

Hur uttrycker man rotationen av F i de partiella derivatorna dF1/dx etc? 

det har har är alltså att rotF(0,a+1,2y-2y) vilket blir(0,1+1,0) och vi ska få rotF=(0,0,0) detta fås av a=-1 så fältet är konservativt om a=-1

Efter det ska man bestämma en potentialfunktion U i fallet a=-1. Det står att man ska söka efter en funktion U(x,y,z) så att gradU=F, där är jag inte med.

gradU är F, alltså kommer x-komponenten för F vara dU/dx, y-komponenten för F vara dU/dy och z-komponenten vara dU/dz, så du får ett system av derivator som du måste lösa. Vet du hur man löser ett sådant?

Nej, där har jag fastnat.

Jag ser i svaret att det ska bli

$\begin{array}{c}\frac{dU}{dx}=y^2-z\\ \frac{dU}{dy}=2xy\\ \frac{dU}{dz}=3z^2-x\end{array}$

men jag är osäker på hur dom kommer dit.

okej jag ser ju att svaren kommer från F=($y^2+az,2xy,3z^2-x$)

men i nästa steg står det att från ekvation 1 dvs dU/dx=y^2-z får vi att U(x,y,z)= $x{y}^2-xz+g(y,z)$ 

sedan ska man derivera med avseende på y och då får man: $2xy+g´(y,z)$ där är jag med men jag vet inte hur dom får fram $U(x,y,z)=x{y}^2-xz+g(y,z)$

Sedan jämfört med ekvation 2 dvs dU/dy ger att $g{´}_y(y,z)=0$ således är g(y,z)=h(z) där vet jag inte riktigt vad dom gör.

Du svarade aldrig på frågan av Dr. G. Vet du hur man beräknar rot F?

När det gäller att lösa dU/dx=y^2-z ska man tänka på att vid partiell derivata ska y och z ses som konstanter. Om du skulle lösa dU/dx=17 tror jag att du kommit fram till U=17x+konst. Byt 17 mot y^2-z, annars samma sak. Det som kallats konst kan vara ett godtyckligt uttryck med y och z eftersom dom är konstanter.

nej där är jag inte riktigt med.

var fick du 17 ifrån?

17 är ett exempel på en konstant. Ett tal vilket som helst. Vad är det du inte är med på?

som jag förstod med rotF  så för att fältet ska vara konservativt ska rotF=0. I denna uppgift står det rotF=(0,a+1,2y-2y)=(0,a+1,0) det jag förstår är ju 2y-2y=0 och a+1 är ju kvar och därför måste a=-1 men vad hände med y^2 som nu blev 0

Jag har försökt se hur dom gör i boken och efter att ha deriverat dU/dY och fått $2xy+g{´}_y(y,z)=0$ och jämför det med dU/dy=2xy får dom att g(y,z)=h(z) och att U(x,y,z)=$x{y}^2-xz+h\left(z\right)$ där följer jag inte riktigt med.

Sen fick dom också från dU/dy att U(x,y,z)=$x{y}^2-xz+g(y,z)$

att g´ý(y,z)=0 förstår jag ju men hur dom går vidare efter det förstår jag inte riktigt.

Hej!

Du har vektorfältet $F : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ där

    $\displaystyle F(x_{1},x_{2},x_{3}) = (f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3}),f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3}),f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3}))\ .$

Fältets rotation $\nabla \times F$ är också ett vektorfält och ges av följande determinant-beräkning.

    Error converting from LaTeX to MathML

där $e_{1}$ och $e_{2}$ och $e_{3}$ betecknar enhetsvektorer.

Vektorfältet $F$ är konservativt om det finns ett skalärfält ($U$) sådant att $F = -\nabla U$. Det medför att vektorfältets rotation är lika med nollfältet, eftersom differentialoperatorn $\nabla \times \nabla$ är lika med noll-operatorn. Anta alltså att $F$ är ett konservativt vektorfält.

Det givna vektorfältets rotation beräknas till

    $\displaystyle \nabla \times F = e_{1}(0-0)+e_{2}(a-(-1))+e_{3}(2y-2y) = e_{1}0+e_{2}(a+1)+e_{3}0.$

Albiki

Suck! Jag arbetade länge med att skriva hur rotationen beräknades, och förhandsgranskade i WIRIS-fönstret, men när jag postade resultatet så kan det inte visas och, vad värre är, allt mitt arbete är förlorat.

det jag har fastnat på är hur man får U(x,y,z)=$x{y}^2-xz+g(y,z)$ av $\frac{dU}{dx}=y^2-z$

 Du har fastnat redan på beräkningen av rot F, eller hur? Du måste slå upp det i boken eller på nätet. Den första komponenten som blir noll är dF3/dy - dF2/dz som blir 0-0 eftersom F3 inte innehåller y och F2 inte innehåller z.

Så här skrev jag: Om du skulle lösa dU/dx=17 tror jag att du kommit fram till U=17x+konst.

Nu undrar jag om du är med på det. Det är viktigt att du svarar på det.

Sen skrev jag; Byt 17 mot y^2-z, annars samma sak. Det som kallats konst kan vara ett godtyckligt uttryck med y och z eftersom dom är konstanter.

Om du förstod fallet 17 förstår du att det blir likadant om det står en konstant vilken som helst och y^2-z är en konstant.

Ja det är där jag har fastnat. Jag förstår att df3/dy samt dF2/dz blir 0-0

men jag är osäker på U(x,y,z) = $x{y}^2-xz+g(y,z)$  av dU/dx var de får de två x ifrån.

dU/dx=17 får du till u=17x+C integralen av 17 med avseende på x blir väl 17x? då derivatan av 17x blir 17

Ja, och om du byter 17 mot (y^2 -z) får du det du vill ha.

okej och sen att dom får g(y,z) efter motsvarar bara konstanttermen C?

Efter det är jag snart färdig med det fullständiga svaret jag har att fältet är konservativt för a=-1 men jag ska även bestämma det sökta arbetet.

Det står att spiralen $\nu$ går från punkten (3,0,0) till punkten (3,0,1) men hur vet man vilka punkter den går från?

Sätt in start- och slutpunkt i r(t). 

Är du med på att du inte direkt behöver beräkna linjeintegralen, utan istället kan titta på potentialen i ändpunkterna? 

jag är inte riktigt med på hur man ska gå till väga här. Det står att spiralen går från (3,0,0) till (3,0,1)  Arbetet som fältet uträttar längs y är således

$w={\int }_{\nu }F\times dr=U(3,0,1)-U(3,0,0)=-2$

Dr. G skrev :

Sätt in start- och slutpunkt i r(t). 

Är du med på att du inte direkt behöver beräkna linjeintegralen, utan istället kan titta på potentialen i ändpunkterna? 

Jag har ju att r(t)= (3cost,2sint,$\frac{t}{2\pi }$ )   samt $0\le t\le 2\pi$

Men jag är osäker på hur man tar sig från det till U(3,0,1)-U(3,0,0) =-2

Är du med på att om fältet är konservativt så spelar det ingen roll hur kurvan ser ut? Det är skillnaden mellan potentialens värde i kurvans ändpunkter som bestämmer linjeintegralen. Att det i det här fallet är en spiral spelar ingen roll. Man får samma svar om man integrerar längs t.ex en rät linje från (3,0,0) till (3,0,1) som längs denna spiral. 

Jo, men det jag har problem med är hur man ska veta att det är mellan (3,0,1) till (3,0,0)

Idil M skrev :

Jo, men det jag har problem med är hur man ska veta att det är mellan (3,0,1) till (3,0,0)

Du vet att $r\left(t\right) = \left(3\cos t,2\sin t,\frac{t}{2\pi }\right)$ och att t går från 0 till $2\mathrm{\pi }$. Sätt in $t = 0$ respektive $t = 2\mathrm{\pi }$ i r(t) för att beräkna start- och slutpunkt.

Okej, nu förstår jag, jag missade det.

Sedan ska man alltså sätta $\int F\times dr=U(3,0,1)-(3,0,0)$ som ska bli -2

Hej!

Rotationen för vektorfältet $F(x_1,x_2,x_3) = (f_1(x_1,x_2,x_3),f_2(x_1,x_2,x_3),f_3(x_1,x_2,x_3))$ är lika med vektorfältet $\nabla \times F$ givet av

    $\displaystyle e_1\left(\frac{\partial f_3}{\partial x_2}-\frac{\partial f_2}{\partial x_3}\right) + e_2\left(\frac{\partial f_1}{\partial x_3}-\frac{\partial f_3}{\partial x_1}\right) + e_3\left(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\right)\ .$

Albiki

Hej!

Komponenterna till det givna vektorfältet ($F$) är $f_{1}(x_1,x_2,x_3) = x_2^2+ax_3$ och $f_{2}(x_1,x_2,x_3) = 2x_1x_2$ samt $f_{3}(x_1,x_2,x_3) = 3x_3^2-x_1$, vilka ger följande rotations-komponenter.

    $\displaystyle \frac{\partial f_3}{\partial x_2} - \frac{\partial f_2}{\partial x_3} = 0 - 0 = 0$

och

    $\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_3} - \frac{\partial f_3}{\partial x_1} = a +1$

samt

    $\displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x_1} - \frac{\partial f_1}{\partial x_2} = 2x_2 - 2x_2 = 0\ .$

Albiki

Hej!

För att vektorfältet $F$ ska ha en chans att vara konservativt så måste dess rotation vara noll; detta är endast möjligt om parametern $a = -1$. 

Om du antar att $F$ är ett konservativt vektorfält så finns det ett skalärfält $U : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ sådant att

    $\displaystyle F = -\nabla U\ .$

Det betyder att skalärfältet måste uppfylla följande tre villkor.

    $\frac{\partial U}{\partial x_1} = -f_1(x_1,x_2,x_3)$

och

    $\frac{\partial U}{\partial x_2} = -f_2(x_1,x_2,x_3)$

samt

    $\frac{\partial U}{\partial x_3} = -f_3(x_1,x_2,x_3)\ .$

Albiki

Hej!

Om det finns ett skalärfält $U$ så är det sådant att

    $\frac{\partial U}{\partial x_1} = -x_2^2+x_3$

vilket ger att

    $\displaystyle U(x_1,x_2,x_3) = -x_2^2x_1+x_3x_1 + g(x_2, x_3)$

där $g : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$ betecknar en godtycklig överallt differentierbar funktion.

Albiki

Hej!

Det andra villkoret som skalärfältet måste uppfylla ger

    $\displaystyle \frac{\partial U}{\partial x_2} = -2x_2x_1+\frac{\partial g}{\partial x_2} = -f_2(x_1,x_2,x_3) = -2x_1x_2\ .$

Det ger att funktionen $g$ måste vara sådan att

    $\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x_2} = 0$

vilket säger att $g(x_2,x_3) = h(x_3)$ där $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ betecknar en godtycklig deriverbar funktion. (Kom ihåg att differentierbar och deriverbar är inte samma sak!)

Albiki

Hej!

Såhär långt vet du att om det finns ett skalärfält ($U$) sådant att $F = -\nabla U$ så måste det se ut såhär. $\displaystyle U(x_1,x_2,x_3) = -x_2^2x_1+x_3x_1+h(x_3)\ .$

Det tredje (och sista) villkoret som skalärfältet måste uppfylla ger

    $\displaystyle \frac{\partial U}{\partial x_3} = x_1 + h'(x_3) = -f_3(x_1,x_2,x_3) = -3x_3^2+x_1$

vilket ger att $h(x_3) = -x_3^3 + c$ där $c$ betecknar en godtycklig (reell) konstant.

Albiki

Hej!

Du ser att om det finns ett skalärfält (potentialfält) till vektorfältet $F$ så måste det se ut såhär.

    $\displaystyle U(x_1,x_2,x_3) = -x_2^2x_1+x_3x_1-x_3^3+c\ .$

Albiki

Hej!

Om du vill beräkna hur stort arbete som vektorfältet $F$ uträttar på en partikel som rör sig längs en kurva ($\gamma$) så ska du beräkna kurvintegralen

    $\displaystyle \oint_{\gamma}F\cdot dr\ .$

Om vektorfältet är konservativt så spelar det ingen roll för kurvintegralen hur partikeln rör sig längs kurvan $\gamma$; det enda som spelar roll är i vilken punkt partikeln startar, $(a_1,a_2,a_3)$, och i vilken punkt partikeln stannar, $(b_1,b_2,b_3)$, eftersom kurvintegralen är lika med följande tal.

    $\displaystyle \oint_{\gamma}F\cdot dr = U(b_1,b_2,b_3) - U(a_1,a_2,a_3)\ .$

Albiki

Hej!

För dig är kurvan $\gamma$ en elliptisk spiral som startar i punkten $(a_1,a_2,a_3) = (3,0,0)$ och stannar i punkten $(b_1,b_2,b_3) = (3,0,1)$.  Potentialskillnaden mellan dessa två punkter är lika med den sökta kurvintegralen, som är lika med talet

    $\displaystyle U(3,0,1) - U(3,0,0) = (-0+3-1+c) - (-0+0-0+c) = 2\ .$

Albiki

Hej!

Om du oroar dig för att jag fick svaret $2$ och du fick svaret $-2$ så notera att jag har definierat potentialfunktionen $U$ via $F = -\nabla U$, istället för via $F = \nabla U\ .$

Albiki

Albiki skrev:

Hej!

Du har vektorfältet $F : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ där

    $\displaystyle F(x_{1},x_{2},x_{3}) = (f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3}),f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3}),f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3}))\ .$

Fältets rotation $\nabla \times F$ är också ett vektorfält och ges av följande determinant-beräkning.

    Error converting from LaTeX to MathML

där $e_{1}$ och $e_{2}$ och $e_{3}$ betecknar enhetsvektorer.

Vektorfältet $F$ är konservativt om det finns ett skalärfält ($U$) sådant att $F = -\nabla U$. Det medför att vektorfältets rotation är lika med nollfältet, eftersom differentialoperatorn $\nabla \times \nabla$ är lika med noll-operatorn. Anta alltså att $F$ är ett konservativt vektorfält.

Det givna vektorfältets rotation beräknas till

    $\displaystyle \nabla \times F = e_{1}(0-0)+e_{2}(a-(-1))+e_{3}(2y-2y) = e_{1}0+e_{2}(a+1)+e_{3}0.$

 

Albiki

 Hej Albiki,
Jag undrar, varför måste konservativa fält vara lika med nollfältet? 

Vad läser du för programm?

mrlill_ludde skrev:

Albiki skrev:

Hej!

Du har vektorfältet $F : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ där

    $\displaystyle F(x_{1},x_{2},x_{3}) = (f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3}),f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3}),f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3}))\ .$

Fältets rotation $\nabla \times F$ är också ett vektorfält och ges av följande determinant-beräkning.

    Error converting from LaTeX to MathML

där $e_{1}$ och $e_{2}$ och $e_{3}$ betecknar enhetsvektorer.

Vektorfältet $F$ är konservativt om det finns ett skalärfält ($U$) sådant att $F = -\nabla U$. Det medför att vektorfältets rotation är lika med nollfältet, eftersom differentialoperatorn $\nabla \times \nabla$ är lika med noll-operatorn. Anta alltså att $F$ är ett konservativt vektorfält.

Det givna vektorfältets rotation beräknas till

    $\displaystyle \nabla \times F = e_{1}(0-0)+e_{2}(a-(-1))+e_{3}(2y-2y) = e_{1}0+e_{2}(a+1)+e_{3}0.$

 

Albiki

 Hej Albiki,
Jag undrar, varför måste konservativa fält vara lika med nollfältet? 

 För ett konservativt fält är dess rotation lika med nollfältet så länge fältet är av klass $C^1$.

Om man beräknar determinanten får man

$\nabla\times\mathbf{F}=\nabla\times(-\nabla\mathbf{U})=0$

förutsatt att fältet $\mathbf{U}$ är av $C^2$ (har att göra med att de blandade partiella andraderivatorna skall vara lika med varandra) vilket i sin tur ger att $\mathbf{F}$ måste vara av klass $C^1$.