vektoranalys

uppgift:

beräkna flödet av fältet

F=(x-y+xy , -2x+y , xy)

ytan är en triangel med hörn i (1,0,0) och (0,1,0) och (0,0,1), ange också normalen är positiv eller negativ.

Mitt försök:

Jag paramitiserar med

$r (s, t) = (s, t, 1 - s - t)$

$r'_{s} (s, t) = (1, 0, - 1)$

$r'_{t} (s, t) = (0, 1, - 1)$

$r'_{s} \times r'_{t}$ ger svaret (1,1,1), z pekar upp

$\int F (r (t)) \circ (r'_{s} \times r'_{t}) d s d t = - 1 / 2$

svar i facit 1/12, z pekar nedåt

Svårt att svara på detta utan att se fullständig problemtext.

Om du väljer en normal som pekar "uppåt" så kommer ett flöde som pekar "nedåt" att bli negativt. Vill du ha ett positivt svar utmed den negativa z-axeln får du vända på din normal, dvs $\mathbf{N}=(-1,-1,-1)$ .

Du verkar också ha satt in fel gränser i din integral.

Tänk på att om du låter $s$ gå från $0$ till $1$ så måste $t$ gå från $0$ till $1-s$ eftersom du ska integrera över triangeln i st-planet.

Svara