Vektoranalys

Funderar över följande uppgift.

I teorin för elektromagnetiska fält betecknas vektorpotentialen för det magnetiska fältet med $A (r, t)$ . För sinusoidalt tidsberoende finns situationer där vektorpotentialen uppfyller ekvationen

$\nabla \times (\nabla \times A (r, t)) - k^{2} A (r, t) = 0$

där k är en realkonstant. Visa att $A (r, t)$ då även uppfyller Helmholtz' ekvation

$\nabla^{2} A (r, t) + k^{2} A (r, t) = 0$

samt ekvationen

$\nabla \cdot A (r, t) = 0$

Jag skrev om den första ekvationen till

$\nabla (\nabla \cdot A) - \nabla \cdot \nabla A - k^{2} A = 0$

Men om vi sätter in den tredje ekvationen i ekvationen ovan får vi ju att

$0 - \nabla^{2} A - k^{2} A = 0 \Leftrightarrow \nabla^{2} A + k^{2} A = 0$

Vi får då alltså den andra ekvationen.

Räcker detta för att visa det som krävdes i uppgiften?

Nej då har du ju antagit att det gäller att $\nabla \cdot A(r, t) = 0$ , du ska ju dock bevisa detta.

Javisst. Hur skall jag i så fall göra? I boken står det att jag skall ta divergensen av den första ekvationen. Men varför?

Ja, det låter ju vettigt, tänk på att det i allmänhet gäller att $\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0$ , så om du tar divergensen på hela ekvationen vad får du då kvar?

Då får jag

$0 - \nabla \cdot k^{2} A = 0 \Leftrightarrow k^{2} \nabla \cdot A + A \cdot (\nabla k^{2}) = 0$

Stämmer detta? Hur fortsätter jag i så fall?

Tänk på att k är en konstant, så du behöver inte använda någon produktregel direkt. Utan du har ju direkt att

$\nabla \cdot (k^{2} A) = k^{2} \nabla \cdot A$

Så man får ju att detta innebär att

$\nabla \cdot (k^{2} A) = 0 \Leftrightarrow \nabla \cdot A = 0$

Aha. Eftersom k är en realkonstant och inte är en funktion? Tack igen! :D

Japp, exakt av den anledningen.

Svara

Visa senaste svar