Vektor som minimerar avståndet till en annan vektor

Verkar bli lite knas när du beräknar $A^TA$ ska bli

$\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\3 & 7 & 3 \\1 & 3 & 2\end{array}\right)$

Aha, okej! Men det blir ju fortfarande inte rätt efter gaussning, då jag får ut $\left[\begin{array}{c}1/3\\ 1/3\\ -2/3\end{array}\right]$ efter Gauss-Jordan. Svaret står dock i ${\mathrm{ℝ}}^4$.

Svaret du får ut är ju de tal $(x_1,x_2,x_3)$ som ger den linjärkombination $x_1w_1+x_2w_2+x_3w_3$ som minimerar

$\| Ax-v\|$

Du har fortfarande något slarvfel i gausselimineringen, svaret ska bli

$\left\{-\frac{1}{3},1,-\frac{4}{3}\right\}$

Sedan får du alltså bilda den vektor $\vec{w}\in W$ som efterfrågas, dvs $w=-\frac13w_1+w_2-\frac43w_3$, där $w_j$ är kolonnerna som spänner $W$

Jag tror du behöver fundera lite över hur lösningsmetoden fungerar och vad det egentligen är du räknar ut.

Hoppsan! Men då förstår jag metoden iaf, så min metod var alltså rätt då!? Men anledningen till att det står något helt annat i facit, har det att göra med att dom har kört en annan metod då? För nu har ju vektorn $\stackrel{\rightharpoonup }{x}$ som tillhör W beräknats!

Varje vektor $\vec{x}\in W$ kan skrivas som en linjärkombination av de kolonner $w_1,\dots,w_3$ som spänner $W$.

$\vec{x}=\lambda_1w_1+\lambda_2w_2+\lambda_3w_3$

Vektorn kan också skrivas på formen $\vec{x}=A\vec{u}$, där $\vec{u}=(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ och matrisen $A$ består av kolonnerna $w_1,\dots, w_3$.

Nu letar vi efter de $\lambda_1,\dots,\lambda_3$ som minimerar avståndet $\| \vec{v}-A\vec{u}\|$. För att hitta koefficienterna kan vi använda minsta kvadratmetoden. Det $\vec{u}$ som minimerar $\| \vec{v}-A\vec{u}\|$ måste uppfylla:

$A^TA\vec{u}=A^T\vec{v}$

Det visar sig att systemet har den entydiga lösningen $\vec{u}=(-\frac{1}{3},1,-\frac{4}{3})$. Slutligen anger vi den vektor $\vec{x}\in W$ som minimerar avståndet:

$\vec{x}=A\vec{u}=\lambda_1w_1+\lambda_2w_2+\lambda_3w_3=-\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\0\\1\\0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}2\\1\\1\\1 \end{bmatrix}-\frac{4}{3}\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{3}\\1\\ \frac{2}{3}\\ -\frac{1}{3}\end{bmatrix}$

Jahaaaaa! Då fattar jag. Så man kan alltså säga att det som beräknades är koordinater till den linjärkombination av vektorer som befinner sig i W! Koordinaterna tillsammans med vektorerna ger alltså $\overrightarrow{x}$!

Tack så mycket för hjälpen!! 😃