Vektor som en summa av vektorer (ortogonal/parallell mot plan)

Hur stor är projektionen av din vektor u på normalvektorn? Vad blir resten (dvs det som är vinkelrätt)?

Det är fråga om en komposantuppdelning av vektorn $\overline{u}$, enligt figuren nedan:

Vektorn $\overline{u}_1$ är vektorn $\overline{u}$:s ortogonala projektion på normalen.

Med projektionsformeln får vi

$\overline{u}_1 =(\overline{u}\bullet\overline{e})\overline{e}$, där

$\overline{e}$ är enhetsnormalvektorn $\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\2\\-2\end{bmatrix}$.

Kan du beräkna $\overline{u}_1$ på egen hand?

Sedan gäller att $\overline{u}=\overline{u}_1+\overline{u}_2$. Då kan du med detta bestämma den återstående komposanten.  OK?

Det är inget fel på din ansats. Du har hittat 1 av oändligt många vektorer som är ortogonala mot planet. De har alla samma riktning men de är olika långa. Däremot duger den inte för att summeras till $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ om den andra termen i summan ska vara en vektor i planet, d.v.s. en vektor som är ortogonal mot din normalvektor $\stackrel{\rightharpoonup }{n}$. Du måste förändra längden på den och det gör man genom att multiplicera $\overrightarrow{n}$ med ett tal, $\alpha$. Vektorn i planet behöver på samma sätt förändras i längd med ett tal, $\beta$ för att summan ska bli $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$. Det enklaste är nog att göra som dr_lund men du kanske får lite insikter av det jag skriver?

Notera att du kan ha otur när du väljer vektor i planet. Du kan råka välja en vektor som är ortogonal mot $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ och med en sådan vektor kan du inte lösa uppgiften. Det 2 vektorerna som du väljer utgör en bas i ett annat plan än det givna och om du har  (mycket) otur så är $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$en normal till det planet.