Vektorbaser

Vad är skillnaden mellan tangentbas och dualbas? Är dessa parallella med varandra i ortogonala koordinatsystem?

Men tangentbasen bestäms av derivatan på koordinatvektorn med avseende på kartesiska koordinater och dualbasen av gradienten av de nya koordinaterna. Trodde förut att dual och tangenbaser var ortogonala mot varandra för gradient och tangent riktning men verkar inte så.

Hej,

Tangentrummet till en punkt på en mångfald är ett ändligtdimensionellt vektorrum $V$ som har en bas (tangentbas).
Dualrummet till detta vektorrum är ett ändligtdimensionellt vektorrum $V^*$ som har en bas (dualbas); dualrummet till $V$ består av alla linjära funktionaler vars definitionsmängd är vektorrummet $V$ .

Det är inte meningsfullt att fråga om $V$ och $V^*$ är parallella med varandra (vad det nu skulle betyda).

Element i $V$ är vektorer medan element i $V^*$ är funktioner som kopplar ihop vektorer med tal.

Om du har infört koordinater uⁱ på ett affint rum, tex ”det tredimensionella euklidiska rummet enligt våran vardagliga erfarenhet”, så brukar man definiera en tangentbas enligt

$\vec{E_{i}}$ = $\frac{\partial \vec{r}}{\partial u^{i}}$ , i = 1, 2, 3.

Med dualbas, eller reciprok bas, menar man en bas ${\vec{E}}^{j}$ , j = 1, 2, 3, sådan att

${\vec{E}}^{j}$ • ${\vec{E}}_{i}$ = $δ_{i}^{j}$ , j, i = 1, 2, 3.

Är du med så långt?

Det är korrekt att ${\vec{E}}^{j}$ = $\nabla u^{j}$ .

Om tangentbasen är ortogonal så är dualbasen ortogonal, och ${\vec{E}}^{k}$ är parallell med ${\vec{E}}_{k}$ , k = 1, 2, 3.

Albiki skrev:
Hej,

Tangentrummet till en punkt på en mångfald är ett ändligtdimensionellt vektorrum $V$ som har en bas (tangentbas).

Dualrummet till detta vektorrum är ett ändligtdimensionellt vektorrum $V^*$ som har en bas (dualbas); dualrummet till $V$ består av alla linjära funktionaler vars definitionsmängd är vektorrummet $V$ .

Det är inte meningsfullt att fråga om $V$ och $V^*$ är parallella med varandra (vad det nu skulle betyda).

Element i $V$ är vektorer medan element i $V^*$ är funktioner som kopplar ihop vektorer med tal.

Basen är olika för alla punkter i koordinatsystemet?

PATENTERAMERA skrev:
Om du har infört koordinater uⁱ på ett affint rum, tex ”det tredimensionella euklidiska rummet enligt våran vardagliga erfarenhet”, så brukar man definiera en tangentbas enligt

$\vec{E_{i}}$ = $\frac{\partial \vec{r}}{\partial u^{i}}$ , i = 1, 2, 3.

Med dualbas, eller reciprok bas, menar man en bas ${\vec{E}}^{j}$ , j = 1, 2, 3, sådan att

${\vec{E}}^{j}$ • ${\vec{E}}_{i}$ = $δ_{i}^{j}$ , j, i = 1, 2, 3.

Är du med så långt?

Det är korrekt att ${\vec{E}}^{j}$ = $\nabla u^{j}$ .

Om tangentbasen är ortogonal så är dualbasen ortogonal, och ${\vec{E}}^{k}$ är parallell med ${\vec{E}}_{k}$ , k = 1, 2, 3.

De koordinater vi inför i det affina rummet baseras på kartesiska koordinater? Så det finns andra definitioner för t.ex. kroklinjiga rum.

Aaa är med till kroneckers delta och definitionen av dualbasen.

Vi vill ha två baser för att kunna skalärmmultiplicera så här?Om vi bara hade en av baserna så kan vi inte uttrycka skalärmultiplikationen med indexnotation? Känns som boken vill kombinera dessa baser på något sätt eller använder man de separat?

Nej i detta fall är uⁱ är godtyckliga koordinater. Men för kartesiska koordinater så är tangentbas och dualbas samma sak, så i det fallet finns det ju inget värde i att prata om en dualbas.

PATENTERAMERA skrev:
Nej i detta fall är uⁱ är godtyckliga koordinater. Men för kartesiska koordinater så är tangentbas och dualbas samma sak, så i det fallet finns det ju inget värde i att prata om en dualbas.

Hmm okej tack, så vi väljer vad vi vill ha för koordinater och då har vi också indirekt valt en start bas, eftersom koordinater hänger ihop med baser.

Svara

Visa senaste svar