Växande vattendroppe

Hej! Jag undrar om jag tänkt rätt i följande uppgift.

Anta att en vattendroppe som faller genom en fuktig atmosfär uppsamlar vattenmassa med en hastighet som är direkt proportionell mot droppens tvärsnittsarea. Anta att droppen från början är i vila och att dess utgångsradie $R_{0}$ är så liten att inga motståndskrafter verkar på droppen. Visa att dess radie och dess hastighet ökar linjärt med tiden.

Jag gjorde på följande sätt. Massökningen är

$\frac{d m}{d t} = k A = k {πR}^{2}$

Den infinitesimala massökningen ges av

$d m = ρ d V = ρ (\frac{4}{3} π (R + dR)^{3} - \frac{4}{3} {πR}^{3}) \approx 4 {πρR}^{2} dR$

Alltså fås

$\int_{R_{0}}^{R} 4 {πρR}^{2} d R = \int_{0}^{t} k {πR}^{2} d t \Leftrightarrow R = \frac{k}{4 ρ} t + R_{0}$

Enligt facit borde radien ges av

$R \approx \frac{ρ g}{4 ρ_{0}} t$

d.v.s. i princip samma resultat som jag fick. Enligt facit förändras dock tydligen även vattnets densitet, men detta är väl inte korrekt? Eller är det jag som tänker fel någonstans?

Vilken dimension har konstanten k i första uttrycket? Vad blir dimensionen för första termen i ditt resultat -- är det en längd som $R_{0}$ ? Jag förstår inte heller steget du tar i dina integraler -- om R är en funktion av t så måste du antagligen beskriva den funktionen för att kunna integrera din andra integral över tid. Integralen över R verkar också lite "bortslarvad" eftersom den borde innehålla en trea i nämnaren och i differens mellan två kuber som du tycks ha sålt på vägen.

Jag kan hålla med om att det är lite svårt att förstå skillnaden mellan de två densiteter som facit verkar vilja sälja. Finns det något mer data runt uppgiften som kanske behövs för att det ska vara begripligt?

Det svar du ser i facit kommer från att man gör en förenkling och sätter tidsderivatan av hastigheten till g (tyngdaccelerationen). Det tog ett tag innan jag förstod det och kunde lösa uppgiften. Du kan skriva två uttryck för tidsderivatan av massan, ett som är uttrycket för hur mycket vätska droppen plockar upp när den faller (tvärsnittet, hastigheten och densiteten för vatten i luften ingår där), och ett som beskriver massan som funktion av radien på droppen (densiteten för det kondenserade vattnet ingår där), och sen derivera den med avseende på tid, och kom ihåg att radien beror av tiden. Sen är det löst. Felet man gör med den förenklingen kan man visa (om jag räknat rätt) blir signifikant först när hastigheten och radien blir vädligt stor, och då har felet man gör genom att försumma luftmotstånde redan blivit en mycket större felkälla. Jag kan skissa den biten också om du vill, men det blir ganska grisiga uttryck. Notera att de två densiteter som förekommer är den på flytande vatten och den som beskriver hur mycket vatten det finns i luften. Jag tror du fixar det där, men säg till annars så kan jag visa hur jag krafsat.

Svara