Växande och avtagande 3111

Det stämmer inte, den kan komma från negativa värden och växa mot positiva.

Det du ska undersöka är om derivatan är större än 0 för alla x.

En funktions nollställen säger inget om huruvida funktionen är strängt växande eller inte.

Exempel på två funktioner som båda är strängt växande men har olika antal nollställen är $g(x)=e^x$ (inga nollställen) och $h(x)=e^x-1$ (ett nollställe).

Istället är det derivatans tecken som är intressant.

För en strängt växande funktion $f(x)$ gäller att dess derivata är större än 0, dvs $f'(x)>0$.

Kommer du vidare då?

Nja, är det inte så att derivatan kan vara 0 i en punkt (men inte i ett intervall) och ändå är derivatan strängt växande? Jag har för mig att det är just det jag har blandat ihop för egen del.

Smaragdalena skrev:

Nja, är det inte så att derivatan kan vara 0 i en punkt (men inte i ett intervall) och ändå är derivatan strängt växande? Jag har för mig att det är just det jag har blandat ihop för egen del.

Menar du "är funktionen strängt växande"? Jag håller med om att det borde vara så, men det finns kanske olika definitioner. 

Smaragdalena skrev:

Nja, är det inte så att derivatan kan vara 0 i en punkt (men inte i ett intervall) och ändå är derivatan strängt växande? Jag har för mig att det är just det jag har blandat ihop för egen del.

Jo det stämmer.

Om $f(x+a) > f(x)$ för alla $x$ och alla positiva värden på $a$ så är funktionen strängt växande överallt.

Det betyder att $f(x)=x^3$ är strängt växande överallt trots att $f'(0)=0$.

Men jag tror att man i Matte 3 nöjer sig med villkoret $f'(x)>0$.

Strängt växande definieras i Ma3.

OK vad bra.

Då omformulerar jag tipset:

Om f'(x) > 0 för alla x så är f(x) strängt växande för alla x.

Yngve, din definition av "strängt växande"är fortfarande densamma som för fyra timmar sedan och lika felaktig. Derivatan KAN vara lika med 0 i en punkt och funktionen är ändå strängt växande. Ja, f(x)=x³ är strängt växande överallt.

Smaragdalena skrev:

Yngve, din definition av "strängt växande"är fortfarande densamma som för fyra timmar sedan och lika felaktig. Derivatan KAN vara lika med 0 i en punkt och funktionen är ändå strängt växande. Ja, f(x)=x³ är strängt växande överallt.

Jag förstår inte vad du menar med felaktig.

Det jag skrev nu senast är inte en definition av strängt växande, det är ett tips på hur TS kan tänka för att lösa uppgiften.

Tipset beskriver ett tillräckligt (men inte nödvändigt) villkor för att f(x) ska vara strängt växande.

Det tips jag gav i mitt första svar var felaktigt.

Den enda definition av strängt växande jag har skrivit var i detta svar och det är korrekt.

I samma svar skrev jag även exakt det du skriver nu, att $f(x)=x^3$ är strängt växande överallt, trots att $f'(0)=0$.

Du har rätt i att du inte har skrivit "om och endast om" i din formulering, men det var den formuleringen som fick mig att tänka fel om vad "strängt växande" betyder i flera år. Jag vill inte att någon annan skall falla i samma grop!

Har suttit med samma fråga i snart 1 timme och funderat hur jag ska fortsätta efter detta. Vad är nästa steg?

Lös olikheten f'(x) > 0. f(x) är strängt växande I hela den lösningsmängden.

Titta vad som händer nära punkten/punkterna där f'(x) = 0.

Även dessa punkter kan ingå i intervallet där f(x) är strängt växande.

Yngve skrev:

Lös olikheten f'(x) > 0. f(x) är strängt växande I hela den lösningsmängden.

Titta vad som händer nära punkten/punkterna där f'(x) = 0.

Även dessa punkter kan ingå i intervallet där f(x) är strängt växande.

Tack så mycket, nu kan jag äntligen lägga mig

Bra.

Välkommen till Pluggakuten!