Växande och avtagande

Jag skulle säga att du har svarat rätt, men jag förstår inte var -1 kommer ifrån?

Stokastisk skrev :

Jag skulle säga att du har svarat rätt, men jag förstår inte var -1 kommer ifrån?

My bad, det var min definitionsmängd som var: $-1\le x\le 4$

För en funktion $f\left(x\right)$ är växande då $x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right)$ och avtagande när $x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)\ge f\left(x_2\right)$ 

Men om vi säger $f\left(x\right)=x^2\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2x$. Då är funktionen avtagande då $x\le 0$ och växande när $x\ge 0$. Eller tolkar jag det fel?

Edit: Eller definierar "ni" det som strängt växande och strängt avtagande? och att det blir 

Avtagande: $x<0$, Växande: $x>0$. 

Om det är sant vad skiljer sig då strängt växande med bara växande? Min tolkning av strängt växande är att den aldrig kan vara avtagande.

jonis10 skrev :

För en funktion $f\left(x\right)$ är växande då $x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right)$ och avtagande när $x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)\ge f\left(x_2\right)$ 

För en strängt växande  (avtagande) funktion ersätter du bara olikheterna mellan funktionsvärdena ovan med strikta olikheter (< resp. >).

Det är korrekt att $f\left(x\right) =\hspace{0.17em}{x}^2$ är växande på $0 \le x$ och avtagande på $x \le 0$. Den är även strängt växande på $0 \le x$ samt på $x \le 0$ så är den strängt avtagande. I definitionen för strängt växande så ändrar man till att $x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right)$ och liknande för strängt avtagande.

Men varför tolkar boken (Matematik 5000 3c) att extrempunkter inte är växande och både avtagande. Så att dom skriver (om tar mitt föregående exempel) växande $x>0$ och avtagande $x<0$.  

Vi hade en diskussion om detta för ett tag sedan.

Om jag minns rätt så är det meningslöst att säga att en funktion är avtagande i en punkt. Man måste definiera ett intervall för att kunna använda uttrycken växande och avtagande.

Ganska logiskt - man måste ju jämföra två funktionsvärden för att kunna avgöra om funktionen växer.

jonis10 skrev :

Men varför tolkar boken (Matematik 5000 3c) att extrempunkter inte är växande och både avtagande. Så att dom skriver (om tar mitt föregående exempel) växande $x>0$ och avtagande $x<0$.  

För att förtydliga Bubos inlägg, du kan inte prata om att en funktion är växande/avtagande i extrempunkter. Ska man vara väldigt teoretisk så kan man prata om växande/avtagande i enskilda punkter, det är för att definitionen blir uppfylld då definitionsmängden enbart är en enda punkt, så det blir inte riktigt på det sättet du tänker dig skulle jag tro.

Varför din bok gör så kan jag inte svara på, mer än att det är fel.

Bubo skrev :

Vi hade en diskussion om detta för ett tag sedan.

Om jag minns rätt så är det meningslöst att säga att en funktion är avtagande i en punkt. Man måste definiera ett intervall för att kunna använda uttrycken växande och avtagande.

Ganska logiskt - man måste ju jämföra två funktionsvärden för att kunna avgöra om funktionen växer.

Tror du kan länk till den tråden?

Absolut det kan jag hålla med dig om. Tror jag bara har blivit lite förvirrad över vad dom säger på nätet och i boken :D. 

Jag kan inte hitta den tråden.

Eftersom enstaka punkter i någon mening är oväsentliga här, misstänker jag att intervallen kan anses vara lika oavsett om man inkluderar ändpunkten eller inte. Så brukar det ju inte vara med intervall, men här måste vi inkludera intervaller eller delar av intervaller, inte punkter i intervaller.

Någon riktig matematiker kan säkert förklara korrekt...

Det jag tror boken tror är att derivatan måste vara positiv för att funktionen ska vara växande, det kanske till och med är så boken har definierat växande? Om det inte är så boken har definierat det och dom efterfrågar den största mängd där funktionen är växande så svara boken fel.

För att göra en längre utläggning om hur det fungerar. En funktion f är växande på en mängd M om det gäller att för alla $x_1,x_1\in M$ så gäller det att $x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right) \le f\left(x_2\right)$.

Säg nu att vi har funktionen $f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{x}^2$, denna funktion är exempelvis växande på mängden av alla naturliga tal, dvs då $M\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\left\{0, 1, 2, 3, 4, ....\right\}$. Här är ju så att säga varje punkt isolerad och det är inga sammanhängande intervall vi kan finna i mängden. Det är inte svårt att verifiera att funktion uppfyller definitionen för växande.

VI kan också se andra mängder som $M\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\left\{-1, 2, 3, 4, 5, ....\right\}$, på denna mängd är även funktionen växande, man kan verifiera att funktionen uppfyller definitionen för växande.

För att ta det till sin spets så kan man säga att $M\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\left\{4\right\}$ (här har jag valt 4 helt godtyckligt). Vi kan då verifiera att definitionen för att vara växande är uppfylld, eftersom $x_1<x_2$ alltid kommer vara falskt så är implikationen per definition sann.

Men framför allt, om vi söker den största mängden (i någon mening) så kommer vi behöva välja $M\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\left\{x\in \mathrm{ℝ}: x \ge \hspace{0.17em}0\right\}$ så att vi inkluderar nollan, vi kan inte bara ignorera den.

Notera alltså att det inte handlar om att vi pratar om en funktion som växande i en punkt, utan vi pratar om en funktion som växande på mängder. Så påståendet här är inte att funktionen är växande i punkten 0, det är inte ens vettigt att säga, utan påståendet är att funktionen är växande på mängden M.

Aha okej nu är det klart och tydligt tack för svaret.