Processing math: 100%
6 svar
101 visningar
Quill behöver inte mer hjälp
Quill 15
Postad: 28 jul 2024 00:08 Redigerad: 28 jul 2024 00:41

Växande funktion

Bestäm a så att f(x)=x3+x2+ax är strängt växande för alla x

f(x)=x3+x2+ax

f'(x)=3x2+2x+a

3x2+2x+a0

x2+2x/3 ≥ -a/3

(x+1/3)2 ≥ 1/9-a/3

x ≥ -1/3 ± 1/9-a/3

För att x ska vara ett reellt tal måste (1/9)-(a/3)0

a1/3

Facit: a>1/3

Vad blir fel?

Calle_K 2330
Postad: 28 jul 2024 00:28

Välkommen till Pluggakuten.

Denna fråga besvarades i denna tråd (följ länken).

Återkom om du dina funderingar kvarstår.

Calle_K 2330
Postad: 28 jul 2024 00:29

Varför vill du att c ska bli realt?

Quill 15
Postad: 28 jul 2024 00:56

Du har rätt, det behöver inte bli ett reellt tal. Derivatan ska vara större eller lika med noll.  x= -1/3 ±1/9-a/3 bör därför inte existera eller enbart ha en lösning. 

Yngve 40758 – Livehjälpare
Postad: 28 jul 2024 08:20 Redigerad: 28 jul 2024 09:53

Din uträkning stämmer inte riktigt.

Det är alltid lite lurigt med olikheter när uttrycken inte är linjära.

Generellt gäller att olikheten y2b inte har lösningarna y±b utan istället de två lösningsmängderna yb och y-b.

========

Om vi nu tillämpar det i denna uppgift så får vi att olikheten

(x+13)219-a3

har lösningarna

  • x+1319-a3, dvs x-13+19-a3

och

  • x+13-19-a3, dvs x-13-19-a3

Vi vill nu att derivatan endast ska ha ett nollställe, vilket ger oss att

-13+19-a3=-13-19-a3

Addera 13 till båda sidor:

19-a3=-19-a3

Addera 19-a3 till båda sidor:

219-a3=0

Kvadrera:

4·(19-a3)=0

Dividera med 4 på båda sidor:

19-a3=0

Addera a3 till båda sidor:

19=a3

Multiplicera båda sidor med 3:

a=13

Kvarstår att visa att f(x) faktiskt är växande och inte avtagande.

Quill 15
Postad: 28 jul 2024 11:26 Redigerad: 28 jul 2024 11:28
Yngve skrev:

Kvarstår att visa att f(x) faktiskt är växande och inte avtagande.

Har vi inte precis konstaterat det? För att derivatan ska vara större eller lika med noll måste x=-1/3±1/9-a/3endast ha ett eller inga nollställen. Detta innebär att a1/3

Yngve 40758 – Livehjälpare
Postad: 28 jul 2024 13:05 Redigerad: 28 jul 2024 13:08
Quill skrev:

Har vi inte precis konstaterat det? För att derivatan ska vara större eller lika med noll måste x=-1/3±1/9-a/3endast ha ett eller inga nollställen. Detta innebär att a1/3

Nej, det enda vi har gjort är att vi har visat att

  • om a = 1/3 så har derivatan exakt ett nollställe och
  • om a > 1/3 så har derivatan inga (reella) nollställen.

Det betyder att a 1/3 ger att f(x) har max en stationär punkt.

Om den har en stationär punkt så måste det vara en terrasspunkt (eftersom f(x) är en tredjegradsfunktion).

Men vi har inte visat/resonerat kring om funktionen då överallt är strängt växande eller strängt avtagande.

Det involverar antingen att visa att a > 1/3 ger positiv derivata överallt eller att resonera kring hur en tredjegradsfunktion meter sig när den har en positiv koefficient framför tredjegradstermen beter sig.

Svara
Close